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1、第三节 M/M/1排队模型,一.标准的M/M/1模型（M/M/1/ ）,1.问题的一般提法 设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求：（1）系统状态概率Pn； （2）系统运行指标Ls，Lq，Ws，Wq。,2. 系统状态概率 （1）利用状态转移图列出平衡方程 状态转移图是处理稳态M/M/C系统的一种工具，设到达 与服务率分别为 ，则,由此列出平衡方程：,由平衡方程,可解得状态概率：,记 ，称为服务强度，规定 （为什么？），则,（2）由平衡方程解得状态概率,在M/M/1/ 的实际意义表达式不同，含义不同。 1) 服务员在为一位顾客平均服务时间内，到达系统内的顾客数。 2) 上
2、述平均时间占顾客到达平均时间间隔之比，称服务强度。 3) 服务机构的利用率，刻画服务机构的繁忙程度。 4) 在服务台上被服务的顾客的平均数。 5) 反映顾客等待服务的时间占在系统内逗留的时间之比。,3. 系统运行指标,（1）Ls与Lq,因为是均值。,（2）Ws与Wq,（3）上述4个指标之间的关系里特公式,例2 某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从 泊松分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均 需6分钟。求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内有3个顾 客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）店内顾客 的平均数；（5）顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服 务的顾客平
3、均数；（7）平均等待修理时间；（8）必须在店 内消耗15分钟以上的概率。,二.系统容量有限的M/M/1模型（M/M/1/ ）,1.与（M/M/1/ ）的区别,2. 状态概率,由此列出平衡方程：,3. 系统运行指标,例3 某修理站只有1个修理工，且站内最多只能停放3台待 修理的机器。设待修理的机器按泊松流到达，平均每小时到 达1台；修理时间服从负指数分布，平均每1.25小时可修理1 台。试求：（1）站内空闲率；（2）顾客损失率；（3）有 效到达率；（4）站内平均队长；（5）机器为修理而需等待 的平均时间。,例4：为开办一个小型汽车冲洗站，必须决定提供等待汽车使用的场地大小。设要冲洗的汽车到达服从
4、泊松分布，平均每4分钟1辆，冲洗的时间服从负指数分布，平均每3分钟洗1辆。试计算当所提供的场地仅能容纳（a）1辆；（b）3辆；（c）5辆（包括正在被冲洗的1辆）时，由于等待场地不足而转向其它冲洗站的汽车的比例。,三.顾客源有限的M/M/1模型（M/M/1/ ）,1.与（M/M/1/ ）的区别,说明（进入率与状态有关）：如m=5，n=3，如下图所示,进入的或甲或乙或丙，故,由此列出平衡方程：,2. 状态概率,3. 系统运行指标,问题： 的直观意义为何？,例5：,某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间为15分钟。有1个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次需12分钟。 求（1）修理工空闲的概率；（2）5台机器都出故障的概率；（3）出故障机器的平均台数；（4）等待修理机器的平均台数；（5）每台机器的平均停工时间；（6）每台机器的平均等待修理时间。,求（1）修理工空闲的概率；（2）5台机器都出故障的概率；（3）出故障机器的平均台数；（4）等待修理机器的平均台数；（5）每台机器的平均停工时间；（6）每台机器的平均等待修理时间。,该排队系统的指标计算的结论是什么？,机器停工时间过长，修理工几乎没有空闲时间应当提高服务率或增加修理工，或购置高效机器减少需修理率。,
