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1、1,第三次课、傅立叶变换,一、傅立叶级数以及频谱的概念 二、一维傅立叶变换的定义及其运算举例 三、广义傅立叶变换 四、二维傅立叶变换 五、傅立叶变换的性质 六、傅立叶变换相关理论,内容,2,一、傅立叶级数以及频谱的概念,1傅立叶级数的定义 2频谱的概念,内容,3,1傅立叶级数的定义,设f(x)是周期为T0的周期函数，满足狄里赫利条件， 即：(1)、在区间(-T0/2, T0/2)分段连续； (2)、只存在有限个极值点； (3)、只存在有限个第一类间断点； (4)、绝对可积，即：,则f(x)可以展开为傅立叶级数：,(1),(2),(3),(4),称为傅立叶系数,4,令：,则有：,(5),(6),
2、(7),可用cn来统一表示，称cn为复数形式的傅立叶系数。,(8),于是 f(x) 的傅立叶级数可以用复数形式表示为：,亦可简称为傅立叶系数。,5,傅立叶系数cn：,(9),函数f(x)的周期T0的倒数，称作f(x)的基频，表示为：f0=1/T0； 而fn=n/T0=nf0，称作f(x)的谐频，亦可简称为频率。,如果f(x)代表时间函数，则fn代表时间频率； 如果f(x)代表空间函数，则fn代表空间频率。,表明： 周期函数f(x)可以分解为一系列频率为fn，复振幅为cn的谐波； 反之，若将各个谐波线性叠加，则可以精确的综合出原函数f(x)。,(8),6,2频谱的概念,一个周期变化的 物理量 在
3、x域(时间域或空间域)内用f(x)来表示：,(9),(8),而在fn域(时间频率域或空间频率域)内用cn来表示：,由于cn表示频率为fn的谐波成分的复振幅，所以cn按fn的分布图形称为f(x)的频谱。 因为一般cn是复数，所以cn的模值|cn|随fn的分布图叫做f(x)的振幅频谱，而cn的幅角随fn的分布图叫做f(x)的位相频谱。,可见这两种表示是等效的。,7,将一个系统的输入函数f(x)展开为傅立叶级数，在频率域中分析各个谐波的变化，然后综合出系统的输出函数，这种处理方法称为频谱分析方法。,为了认识复杂的光学现象以及进行光信息处理，可采用频谱分析的方法。,8,二、一维傅立叶变换的定义及其运算
4、举例,内容,1一维傅立叶变换的定义 2一维傅立叶变换的举例,9,傅立叶变换和傅立叶逆变换常常用运算符号表示： F()=Ff(x) (12) f(x)= F -1F() (13),设f(x)是定义在实数域x上的一维函数，若f(x)满足狄里赫利条件，即f(x)分段连续，在任意有限区间内只存在有限个极值点和有限个第一类间断点，并且在区间(-，)上绝对可积，则下述积分变换成立：,(10),(11),称作傅立叶变换的核，它表示一个频率为的谐波成分。,表明：一个物理量既可以在域x中用函数f(x)来表示，也可以通过傅立叶变换，在频率域内用函数F()来描述。,1一维傅立叶变换的定义：,称作函数f(x)的傅立叶
5、变换,称作傅立叶逆变换,10,2一维傅立叶变换的举例,例1)、求矩形函数f(x)=rect(ax)的傅立叶变换。,在物理光学中，习惯将F()的主瓣宽度定义为矩形函数的频带宽度，由图2可见，rect(ax)的频带宽度为2a。,解：,11,首先：,于是根据定义，函数f(x)的傅立叶变换为：,解：,有：,cos(x)/x是奇函数， sin(x)/x是偶函数。,12,1/2,0,-1/2,1/2,13,例3)、负指数函数的傅立叶变换 负指数函数的定义为：,则它的傅立叶变换为：,易见，F()是复函数。 它的振幅为：,相位为：,14,例4)、高斯函数的f(x)=exp(-x2)傅立叶变换,Possion积
6、分：,可见，高斯函数具有自傅立叶变换的性质。,解：,15,三、广义傅立叶变换,1广义傅立叶变换的定义 2广义傅立叶变换举例,内容,16,1广义傅立叶变换的定义 设f(x)是一个满足狄里赫利条件的函数， 而gN(x)是存在傅立叶变换的普通函数的序列，即有： FgN(x)=GN()(N为整数) (14) 如果f(x)可以表示为gN(x)的极限，即：,(15),并且，当N时，GN()的极限存在， 则可将f(x)的广义傅立叶变换定义为：,F()=Ff(x)= FgN(x)= GN() (16),显然，公式(15)、(16)既给出了f(x)广义傅立叶变换的定义，又给出了计算f(x)的广义傅立叶变换的方法
7、和步骤。,17,例1)、(x)函数和常数1的傅立叶变换,(x)函数的傅立叶变换为：,常数1的逆傅立叶变换为：,常数1的傅立叶变换为：,常数1和(x)函数构成了一个傅立叶变换对：,(17),(18),2广义傅立叶变换举例,(x)函数的逆傅立叶变换为：,解：,18,例2)、 sin(x)，cos(x) 的傅立叶变换。,Fsin(x)=,Fcos(x)=,解：,19,有的文献将sin(x)的频谱图称为奇脉冲对， 将cos(x)的频谱称为偶脉冲对， 而且采用了符号表示，如下：,(19),(20),于是有： Fsin(x)=j() (21) Fcos(x)=() (22),20,例3)、符号函数sgn(
8、x)的傅立叶变换,n=1，2，为整数。,sgn(x)不满足绝对可积的条件，为此选取适当的函数序列：,解：,很显然,21,首先，我们求出fn(x)的傅立叶变换，根据定义有：,根据广义傅立叶变换的定义有：,Fsgn(x),22,四、二维傅立叶变换,1直角坐标系中的二维傅立叶变换 2极坐标系中的二维傅立叶变换,内容,23,1直角坐标系中的二维傅立叶变换 1)、定义 设f(x，y)是定义在(x，y)平面上的符合条件的二维空间函数，则有：,称F(，)为f(x，y)的空间频谱。,称为二维傅立叶变换的核。,逆傅立叶变换为：,显然，这个 核具有可分离变量的性质：,24,2)、可分离变量函数的二维傅立叶变换 具
9、有可分离变量性质的二元函数：f(x，y)= f1(x) f2(y) 其二维傅立叶变换可以表示成两个一维傅立叶变换的乘积：,可见，可分离变量二元函数的傅立叶变换也是可分离变量的二元函数。,3)、举例,25,2极坐标系中的二维傅立叶变换,坐标平面(x，y),(r，),频率平面,1)、定义,坐标变换公式为：,令,二维傅立叶变换和傅立叶逆变换可以表示为：,26,2)、圆对称函数的傅立叶变换,当二元函数具有圆对称性时，,2),于是,类似地，傅立叶逆变换为：,上述两式表示的圆对称函数的傅立叶变换又称为傅立叶贝塞尔变换，也称为零阶汉克尔变换。,也具有圆对称性,具有圆对称性,27,3)、举例,令,表示半径为的
10、圆孔函数。,其傅立叶变换为：,1),回到直角坐标系中,这一结果将在讨论圆孔的夫琅和费衍射及光学系统分辨本领时得到应用。,28,五、傅立叶变换的性质,主要有八条性质,1线性 设F f(x)=F()，F g(x)=G()，a，b为任意常数，则： F af(x)+ bg(x)= aF()+ bG() 2对称性 若F f(x)=F()，则F F (x)= f (-) 3迭次傅立叶变换 若F f(x)=F()，则F F()= f(-x),29,4缩放性,F f(ax)=,若F f(x)=F()，a为不等于零的常数，则有：,5平移性 若F f(x)=F()，x0为任意实常数，则有： F f(xx0)=ex
11、p(j2x0)F() 6相移性 若F f(x)=F()，0为任意实常数，则有： F exp(j20x)f(x)=F(0),30,7面积对应公式,8复共轭函数的傅立叶变换 若F f(x)=F()，则有： F f*(x)=F*(-)，F f*(-x)=F*(),若F f(x)=F()，则有：,F(0)等于f(x)曲线下的面积； f(0)则等于F()的曲线下的面积。 两个面积相等。 对于二维傅立叶变换，面积当换成体积。,31,六、傅立叶变换相关理论,1导数定理 2巴塞瓦定理 3卷积及其有关知识 4相关及其有关知识,32,1导数定理,若F f(x)=F()，且 存在，于是有： F f(x)=j2F(),设F f(x)=F()，且积分 和 都收敛，则有巴塞瓦定理： 成立。,2巴塞瓦定理,巴塞瓦定理的物理意义为：在傅立叶变换的情况下，信号的能量是守恒的，所以巴塞瓦定理也称为能量积分定理。,33,若F f(x)=F()，F g(x)=G()，且积分：,和,都收敛，,成立。,类似地有广义巴塞瓦定理：,则：,34,总 结,一、傅立叶级数以及频谱的概念 二、一维傅立叶变换的定义及其运算举 三、广义傅立叶变换 四、二维傅立叶变换 五、傅立叶变换的性质 六、傅立叶变换相关理论,作 业： P80，2.6，2.8，2.9(2)，2.11(2),预 告：下节内容：Maxwell方程组和波动方程,
