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1、工程力学 Engineering Mechanics,第七章 应力状态与强度理论,71 应力状态的概念,73 广义胡克定律,74 复杂应力状态下的应变能密度,75 常用强度理论,72 平面应力状态分析,应力状态与强度理论,7 应力状态的概念,应力状态与强度理论,一、引言,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,铸铁,2、组合变形杆将怎样破坏？,三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质a、每个面上，应力均布； b、平行面上，应力相同。,二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，一点的所有方位面上的应力集合，称为这点的应力
2、状态。,应力状态与强度理论,微单元体 微元,四、普遍状态下的应力表示,单元体每个面上的应力等于通过该点的同方位截面上的应力。如果单元体各个面上的应力均为已知时，单元体内任意斜截面的应力便可用截面法求得(后面讲)。这样该点处的应力状态也就完全确定了。,应力状态与强度理论,所以单元体三个互相垂直面上的应力就表示了这一点的应力状态。,五、主平面、主应力：,主平面(Principal Plane)： 切应力为零的截面。,主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。,应力状态与强度理论,s1,s2,s3,x,y,z,sx,sy,sz,一般而言，单元体表面上既有正应力又有切应力。,如
3、图所示，点1单元体各个面都是主平面，点2和点3单元体的前、后面也是主平面。显然，点1单元体左右侧面上的正应力就是主应力，其余主平面上的主应力为零。,应力状态与强度理论,由弹性力学可以证明；通过受力构件内任意一点，总可以找到三对相互垂直的主平面，相应的三个主应力通常用1、 2、 3表示，,主应力排列规定：,应力状态与强度理论,例如，三个主应力数值分别为57MPa、0、- 7MPa时，按照这种规定，应是1 =57MPa， 2=0， 3= - 7MPa。围绕一点按三个主平面位置取出的单元体，称为主单元体，用主单元体表示一点处应力状态是最简单而又明确的。,主单元体,单向应力状态（Unidirectio
4、nal State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。,二向应力状态（Plane State of Stress）： 二个主应力不为零的应力状态。（平面应力状态）,应力状态与强度理论,三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。,由于构件受力情况的不同，某些主应力的值可能为零，按照不等于零的主应力数目，可将一点的应力状态分为三类：,拉伸、弯曲强度：单向应力状态下的判据 剪切、扭转强度：纯剪切,六、建立复杂受力时失效判据的思路与方法：,应力状态与强度理论,实验结果极限应力值,单向、纯剪,复杂应力,（1）实验
5、手段困难，,（2）工作量繁重。,应力状态与强度理论,强度失效 基本形式,（1）脆性断裂,（2）屈 服,同一种失效形式，有可能在引起失效的原因中包含着共同的因素。 建立复杂应力状态下的强度失效判据，就是提出关于材料在不同应力状态下失效的共同原因的各种假说。根据这些假说，可能利用单向拉伸实验结果，建立材料在复杂应力状态下的失效判据；就可以预测在复杂应力状态下的强度设计准则或强度条件。,研究复杂受力（有正应力和剪应力）情况下强度失效的共同规律，假定失效的共同原因，通过分析一点的应力状态，利用单向拉伸的实验结果，建立复杂受力时的强度条件（失效准则和设计准则）。,七、本章的任务：,应力状态与强度理论,7
6、2 平面应力状态分析,应力状态与强度理论,sx,txy,sy,sx,sy,(二向应力),平面应力状态,正应力以拉应力为正，压应力为负； 剪应力 对单元体内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负； 由 轴逆时针转过 角为正，反之为负。,设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：,一、任意斜截面上的应力（正应力和剪应力）,应力状态与强度理论,规定：,考虑切应力互等和三角变换，得：,同理：,应力状态与强度理论,以上两式就是平面一般应力状态下任意斜截面上应力的表达式。适用于所有平面应力状态，包括单向、纯剪等特殊的平面应力状态。,应力状态与强度理论,例1 求图示单元体斜截面上的应力。,解：,解：,应力状态与
7、强度理论,二、极值应力,由上式求出相差 的两个角度，从而确定两个互相垂直的平面， 分别作用着最大、最小正应力。,，,应力状态与强度理论,主平面方位的确定：如约定,则两个角度,中，锐角确定,作用的平面。,应力状态与强度理论,最大、最小正应力,由几何关系得到sin20和cos2 0，可以得到应力的极值表达式:,主单元体,反之则是钝角,大偏大，小偏小，夹角不比45大。,例2 求图示单元体的主应力及主平面，在单元体上画出主 平面和主应力。,应力状态与强度理论,解：,应力状态与强度理论,例3 分析圆轴扭转时的应力状态。,解：确定危险点并画其原始单元体,求极值应力,x,铸铁圆轴扭转破坏现象分析,应力状态与
8、强度理论,x,参见材料力学第四章 等直圆杆扭转时斜截面上的应力,2,2,2,x y,y,x,min,max,t,s,s,t,t,+,-,=,）,（,应力状态与强度理论,三、最大切应力,则,即最大、最小切应力作用面与主平面的夹角为450。,应力状态与强度理论,可以证明： 过一点所有截面上的最大剪应力,（1）求主应力,(a),例4 试求图中所示单元体的主应力和最大剪应力。,应力状态与强度理论,（2）求最大剪应力,确定主平面的位置,(a),在第三象限,最大主应力位置,73 广义胡克定律,一、单向拉伸应力状态下，应力-应变关系（胡克定律）,二、纯剪切应力状态下，应力-应变关系,应力状态与强度理论,三、
9、复杂应力状态下的应力 - 应变关系,根据叠加原理,得:,sz,sy,sx,应力状态与强度理论,同理,上式称为广义胡克定律，即 一般应力状态下的应力应变关系,主应力 - 主应变关系,四、平面应力状态下的应力-应变关系:,应力状态与强度理论,sx,sy,例5 已知一受力构件自由表面上某一点处在表面内的主应变分别为：1=24010-6， 3=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处为平面应力状态,应力状态与强度理论,74 复杂应力状态下的应变能密度,应力状态与强度理论,根据能量守恒原理，材料在弹性范围内工作时，微元三对面上的力在由
10、各自对应应变所产生的位移上所做的功，全部转变为一种能量，储存于微元内。这种能量称为弹性应变能，简称应变能，用dV表示。dV表示微元的体积，则dV /dV为应变能密度,sz,sy,sx,应力状态与强度理论,三向应力状态下，总应变能密度表达式,应力状态与强度理论,图 a,图 b,图 c,m,m,-m,3, 体积改变能密度, 畸变能密度,物体变形时，包含了体积改变与形状改变。总应变能密度包含相互独立的两个部分,三向等拉应力状态，只有体积改变,只有形状改变,应力状态与强度理论,则畸变能密度：,代入,将,一、引子,75 常用强度理论,铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,铸铁,应力状态与强度理
11、论,二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因” 的假说。,材料的破坏形式： 屈服； 断裂 。,复杂应力状态下的强度条件难以靠实验来建立强度条件。,应力状态与强度理论,单向应力状态的强度条件是以实验为基础建立的。,三、四个常用强度理论,1、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到材料单向拉伸的强度极限时，构件就断了。,破坏判据：,强度准则：,实用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。 与均质的脆性材料如玻璃石膏等试验结果吻合的较好。,伽利略播下了第一强度理论的种子。,应力状态与强度理论,2、最大拉应变（第
12、二强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到材料单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。,破坏判据：,强度准则：,实用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。少数脆性材料。,马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽。,应力状态与强度理论,3、最大剪应力（第三强度）理论： 认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就屈服了。,破坏判据：,实用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。描述低强化韧性材料如退火钢的屈服状态。,强度准则：,Coulomb最早提出了最大切应力理论。,应力状态与强度理论,s: 屈服应力,4、畸变能密度
13、理论（第四强度）理论： 认为构件的屈服是由畸变能密度引起的。当畸变能密度达到单向拉伸试验屈服时的畸变能密度时，构件就屈服了。,应力状态与强度理论,由拉伸屈服试验结果可确定畸变能密度极限值vds,单向拉伸至屈服时，,这时的畸变能密度就是所有单向应力状态发生屈服时的极限值,破坏判据：,强度准则：,实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。碳素钢、合金钢等韧性材料。,Mises最早提出了畸变能密度理论。,对于主应力为1, 2, 3的任意应力状态，畸变能密度为,应力状态与强度理论,应力状态与强度理论,综合以上各式，可将四个强度理论的强度条件写成统一的形式：,相当应力，计算应力。,四个强度理论的相当应力：,
14、强度理论的选择,一般情况下，我们是根据材料选择相应的强度条件的。处于复杂应力状态并在常温和静载条件下的脆性材料，多发生断裂破坏，通常采用第一强度理论。塑性材料多发生屈服破坏，应该采用第三强度理论或第四强度理论。前者表达式比较简单，后者用于设计可得较为经济的截面尺寸。 也要注意少数特殊情况下，还须按可能发生的破坏形式和应力状态，来选择适宜的强度理论，对构件进行强度计算。例如，在低温或三向拉伸应力状态情况下，不论是脆性还是塑性材料，都应采用最大拉应力理论；在三向压缩应力状态情况下，不论是塑性材料还是脆性材料，都应该采用第三或第四强度理论。,四、强度理论的应用,（一）强度计算的步骤：,1、外力分析：确定全部的外力。,2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。,3、应力分析：画危险截面应力分布图，确定危险点并画 出其单元体，求主应力。,4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后 进行强度计算。,应力状态与强度理论,（二）强度理论的选用原则：依破坏形式而定。,1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论（大多数情况选用）；,3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如拉压，扭转：,2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；,4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！,当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。,其它应力状态时，使用第三或第四理论（大
