数电第一章数制与编码

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1、第一章 数制与编码,1 进位计数制,2 数制转换,3 带符号数的代码表示,4 常用的一般编码,学习要求,1 进位计数制,一、 十进制数的表示 数码个数：10个。 计数规律:,数 制： 进位计数制：,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,逢十进 1,借一当10,数码的个数和计数规律是进位计数制的两个决定因素,计数体制、计数方法。,高位进位，本位归0。,例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2,例：123.45 读作 一百二十三点四五, 计数法,例：123.45 读作 一百二十三点四五,例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2,(N)1

2、0 = an-110n-1+an-210n-2 + a1101+a0100 +a-1 10-1+a-210-2+a-m10-m, 基与基数,用来表示数的数码的集合称为基（09）, 集合的大小称为基数(十进制为10)。 即表示某种进位计数制所具有的数字符号的个数称为基数，也叫模。,在十进制中，10的整幂次方称为10进制数的权。 即表示某种进位计数制不同位置上数字的单位值，位置不同表示的数值大小不同。, 权,例：,二、 其它进制 其它进制的计数规律可看成是十进制计数制的推广，对任意进制 R，数N可以表示成按权展开式：,(N)R = an-1R n-1+an-2R n-2 + a1R1+a0R0 +

3、a-1 R-1+a-2R-2+a-mR-m,(N) R=(an-1 an-2 a1 a0. a-1 a-2 a-m)R,权值一般用十进制表示, R2 二进制,数码个数2个： 计数规律: 例：,0,1,逢二进 1,借一当 2,(11011.01)2 = 124+123 +022+121+120 +02-1 +12-2 1(10)100+1(10)11 +0(10)10+1(10)1+1 (10)0 + 0(10)-1 +1(10)-10,权值一般用十进制表示,二进制数的特点:,只有两个数码, 很容易用物理器件来实现。,运算规则简单。,可使用逻辑代数这一数学工具。,节省设备(?),例：如需表示数字

4、0999，共有1000个信息量。 十进制：用3位，每位10个数字，共需30个数字设备。 二进制：用10位，每位2个数字，共需20个数字设备。, R8 八进制,数码个数8个： 计数规律: 例：,0,1,2,3,4,5,6,7,逢八进 1,借一当 8,(176.5)8 = 182+781 +680 +58-1 1(10)2+7(10)1 +6 (10)0+5(10)-1, R16 十六进制,数码个数16个： 计数规律: 例： 其它进制,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F (0 10 15),逢十六进 1,借一当 16,(FA1.C)16 = F162+A161 +116

5、0 +C16-1 F(10)2+A(10)1 +1 (10)0+C(10)-1,如六进制、十二进制、二十四进制、六十进制等。 书P5 表1.1.1所列各进制对应值要求熟记。,几种常用数制的表示方法（P5）,2 数制转换,说明： 转换是任意的。 方法：多项式替代法 基数乘除法 混合法 直接转换法,10,10 , 10 ,K ， K ,一、多项式替代法 （R10）,(11011.11)2 = ( )10,=124+123 +022+121+120 +12-1 +12-2,16 8 0 2 1 0.5 0.25,=(27.75)10,(321.4)8 = ( )10,=382+281+180 +48

6、-1,192 16 1 0.5,=(209.5)10,例1：,例2：,规则：按权展开，相加求和,二、基数乘除法（ 10 R ）,整数的转换基数除法 规则：除基取余，商零为止 例 1： 解： 例 2： 解：,(25) 10 = ( ) 2,(25) 10 = (11001 ) 2,(54) 10 = ( ) 16,(54) 10 = ( 36 ) 16,小数的转换基数乘法,规则：乘基取整。 例 3： 例 4： 解： 例 5： 解：,(0.125) 10 = ( ) 2,(0.125) 10 = (0.001 ) 2 ， (0.125) 10 = ( 0.02) 4,(0.125) 10 = (

7、) 4,(29.93) 10 = ( ) 2,(29.93) 10 = ( 11101.111011) 2,乘不尽咋办？,满足精度要求为止,三、混合法 ( 10 ),例: (2022)3( )8 解:,(2022)3 =233 +032+231+230 = (62)10= (76)8,四、直接转换法(K ， K ),一般在二、八、十六进制之间转换, 八进制与二进制之间的转换：,(10011100101101001000.01)B=,(010 011 100 101 101 001 000.010)B =,=(2345510.2)O,从小数点开始 3位一组,不足补0,不足补0, 十六进制与二进制

8、之间的转换：,(10011100101101001000.01)B=,(1001 1100 1011 0100 1000.0100)B =,=( 9CB48.4 ) H,不足补0,从小数点开始 4位一组,反之:,(345.7)O =( ) B,(345.7)O =(011 100 101.111 ) B,1位八进制对应 3位二进制,(27B.7C)H =( ) B,(27B.7C)H =(0010 0111 1011.0111 1100 ) B,1位十六进制 对应4位二进制,=(10 0111 1011.0111 11 ) B,3 带符号数的代码表示 一、符号数,真值：在数值前加“”号表示正数

9、； 在数值前加“”号表示负数。 机器数：把符号数值化的表示方法称。 用“0”表示正数，用“1”表示负数。 例： 真值 机器数 9 1001 01001 9 1001 11001,符号位,二、原码,常用的机器数有：原码、反码、补码 其符号位规则相同，数值部分的表示形式有差异。,符号位数值位 正0 不变 负1,例：,X11101 X1原=01101 X21101 X2原=11101,直观易辨认； 有2个0； 符号不参与运算； 数值范围, 特点：, 组成：,三、反码, 组成： 特点：,符号位数值位 正0 不变 负1 取反,例：,X11101 X1反=01101 X21101 X2反=10010,X1

10、1101 X1反=10010 X1反反= 11101= X1原,正数的反码同原码， 负数的反码数值按位取反； 有2个0； 反码的反码为原码； 数值范围, 特点(续),两数和的反码等于两数反码之和； 符号位参与运算,有进位时循环相加。,例：已知 X11100 X21010 求 Y1 X1 X2 ； Y2 X2 X1,解： X1反=01100 ， X1反=10011， X2反=01010 ， X2反=10101 Y1反 X1反 X2反= 00010 Y10010,Y2反 X2反 X1反= 11101 Y20010,四、补码, 组成： 特点：,符号位数值位 正0 不变 负1 取反1,例：,X1110

11、1 X1补=01101 X21101 X2补=10011,正数的补码同原码， 负数的补码数值按位取反1； 只有1个0； 补码的补码为原码； 数值范围,X11101 X1补=10011 X1补补= 11101= X1原, 特点(续),两数和的补码等于两数补码之和； 符号位参与运算,有进位时丢弃。,例：已知 X11100 X21010 求 Y1 X1 X2 ； Y2 X2 X1,解： X1补=01100 ， X1补=10100， X2补=01010 ， X2补=10110 Y1补 X1补 X2补= 00010 Y10010,Y2补 X2补 X1补= 11110 Y20010,补码的补充说明：,计数

12、容量。,在某一模数系统中，模数为N，如果a、b的余数相同，则称a、b模N同余。例：17和33在模16系统中同余1。同余的两数，在同一模数系统中值相等，即为余数。,同余：,模：,1.概念,2.补码的应用：变减为加,一般而言：在模N的系统中，数L与N - L是一对互补的数。,特例情况：如N=2n ，即在二进制中，负数L补码的数值为L补 2nL，求取形式上可归纳为：取反加1。,例：钟表为模12的系统。,顺时针：+；逆时针：-,由12点拨到3点：,1）12+3=15，15(mod12) =3,2) 12-9=3 ，3(mod12) =3,则：12-9(mod12)=12+3(mod12)=3,即减9等

13、于加3，在 mod12系统中3是9的补码(仅考虑数值位)， 所以利用补码特点可把减法变成加法运算。,当L为负数时，,4 常用的一般编码,一、二十进制编码 二、可靠性编码,现实生活中，对事物进行编码的示例很多，如：学号、身份证号、电话号码、房间号、汽车牌号等等。主要以十进制数为主，也有字母和文字。 在数字系统里，往往也需要对被控对象进行编码，或者对传递的信息进行编码。数字系统中的编码以二进制数形式出现，常用的编码有：,一、二十进制编码,BCD码-Binary-Coded-Decimal 用四位二进制数表示一位十进制数码（09），称为BCD码 。 四位二进制有16种不同的组合，任意取其中的10中组

14、合来代表数码09，即形成一种BCD码，不同的组合便形成了各种各样的BCD编码。 BCD码主要有： 8421码、 5421码、2421码、余3码等。,二进制数,自然码,8421码,2421码,5421码,余三码,简称8421码。按4位二进制数的自然顺序，取前十个数依次表示十进制的09，后6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。,8421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为8, 4, 2, 1，如 8421码: (0111) 8421BCD =08+14+12+11=7, 8421 BCD码,二进制数,8421码,与自然二进制数排列一至， 10101111为冗余码；, 8421码与十进制的转换关系为直接转换关系 例:（0001 0011.0110 0100)8421BCD=(13.64)10,有权码，从左到右为 8 4 2 1；,8421码的特点：, 2421 BCD码,简称2421码。典型2421码按4位二进制数的自然顺序，取前后各5个数依次表示十进制的09，其余6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。这只是2421码的一种编码方案。,2421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为2, 4, 2, 1，如 :,二进制数,2421码,2421码 (0100)24