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1、2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,2,第5章 随机模型,简单统计模型；,一元线性回归模型；,参数估计模型；,主要内容,主成份分析模型。,初等概率模型；,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,3,1、初等概率模型,问题1：有趣的蒙特莫特模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,4,问题1：有趣的蒙特莫特模型,1、初等概率模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,5,当充分大,即人数较多时,至少有1人抽取到自己所带礼品的概率为,问题1：有趣的蒙特莫特模型,1、初等概率模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,6,问题2：传染病的传播模型,
2、现在的问题： 对某种传染病而言，人群中有病人（带菌者）和健康人（易感染者），任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的. 如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律，那么怎样估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大？,1、初等概率模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,7,(1)问题的分析与假设,问题2：传染病的传播模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,8,(2)模型的建立与求解,问题2：传染病的传播模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,9,(2)模型的建立与求解,问题2：传染病的传播模型,2019/6/
3、21,数学建模实用教程高教出版社,10,(2)模型的建立与求解,问题2：传染病的传播模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,11,(3)模型的检验,问题2：传染病的传播模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,12,(3)模型的检验,问题2：传染病的传播模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,13,(1)问题的提出,问题3：售报厅的进报策略模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,14,(2) 问题的分析,因为需求量是随机的，致使报亭每天的销售收入也是随机的。所以，不能以报亭每天的收入数作为优化模型的目标函数，而应该是以报亭的长期（几个月，或
4、一年）卖报的日平均收入最大为目标函数。 由概率论的知识，这相当于报亭每天销售收入的期望值，以下简称平均收入。,问题3 报亭的进报策略模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,15,问题3 报亭的进报策略模型,(3)模型的建立与求解,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,16,问题3 报亭的进报策略模型,(3)模型的建立与求解,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,17,问题3 报亭的进报策略模型,(3)模型的建立与求解,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,18,问题3 报亭的进报策略模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,19,问题3
5、报亭的进报策略模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,20,问题4：水果店的合理进货模型,某时令水果店每售出一百千克水果，可以获得利润250元，若当天进货不能出售出去，则每一百斤将损失325元。该水果店根据预测分析，每天的需求量和对应的概率值如下表：,在这样的需求结构下，水果店主希望知道，他应该每天进多少水果才能够获得最大的利润？,1、初等概率模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,21,问题的分析： 该问题为一个随机存储问题，要研究这类问题，主要是按平均进货量（即数学期望）准则来讨论。,问题的假设： （1）当不满足需求，即缺货时，店主没有任何损失，即不考虑缺货所带
6、来的损失。 （2）水果店的纯利润为卖出水果后所获利润与因未卖出的水果所带来的损失部分之差。,问题4：水果店的合理进货模型,1、初等概率模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,22,模型的建立与求解 ：利用概率知识及经济学中边际分析的方法，综合分析讨论这个问题。,问题4：水果店的合理进货模型,1、初等概率模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,23,（）水果店每天进货量为2百千克情况： 由于该水果店每售出一百千克水果，能够获得利润250元；若不能出售时每百斤损失325元。 进货百千克时的需求量与纯利润表,问题4：水果店的合理进货模型,1、初等概率模型,水果店纯利润的期
7、望值为,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,24,（2）水果店进货量为3百千克情况：相应的需求量与对应的纯利润计算结果如下表所示。 进货百千克时的需求量与纯利润表,问题4：水果店的合理进货模型,1、初等概率模型,水果店纯利润的期望值为,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,25,问题4：水果店的合理进货模型,1、初等概率模型,（）水果店进货量为4百千克情况：相应的需求量与对应的纯利润计算结果如下表所示。 进货百千克时的需求量与纯利润表,水果店纯利润的期望值为,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,26,问题4：水果店的合理进货模型,1、初等概率模型,该水果店每天
8、的水果进货量为3百千克相对获得利润较大。那么问题是否是百千克的进货量一定就是最好的呢？ 引入边际分析方法，边际分析方法是西方经济学中最基本的分析方法之一。 通过已知信息，判定水果店每增加一百千克的进货量，所带来的利润或损失，进而判断进货量的合理性。 如果水果店现已有n百千克水果，那么再进1百千克水果，从而就存有n+1百千克水果。,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,27,首先给出以下两个概念： 边际利润（Marginal Profit）：由所增加的1个单位水果带来的纯利润，记为MP。 边际损失（Marginal Loss）：由所增加的个单位水果所导致的损失，记为ML。,问题4：水果
9、店的合理进货模型,1、初等概率模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,28,1、初等概率模型,当销售概率大于 0.5652时，水果店 应再增加1百千克水 果的进货量才是合算 的。从已知的需求量 与对应概率值的关系：,问题4：水果店的合理进货模型,该水果店的需求量大于等于4百千克的概率小于0.5652，而需求量大于等于3百千克的概率大于0.5652。从而进货量应为3百千克为好。,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,29,2、简单统计模型,大学生的日常生活水平随着整个时代的变迁发生着巨大的变化。我们想了解一下，目前在校大学生的日常生活费支出与来源状况。,问题1：大学生平均
10、月生活费的测算模型,根据随机抽样的理论，2002年对北京某高校本科生的月生活费支出状况进行了抽样调查。 本次问卷调查对在校男女本科生共发放问卷300份，回收问卷291份，其中有效问卷共265份。 调查数据经整理后，得到全部265名学生和按性别划分的男女学生的生活费支出数据。,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,30,2、简单统计模型,问题1：大学生平均月生活费的测算模型,模型假设 （1）抽样是相互独立的，所抽到的样本都是简单随机样本。 （2）总体即大学生日常生活费支出服从正态分布。 用 表示第i个样本，即生活费支出额； 表示样本均值，即所抽到学生的日常生活费支出的平均值； 表示样本
11、标准差，即样本值与样本均值的偏离程度的度量； 是样本容量，即共抽到的有效问卷数。,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,31,2、简单统计模型,根据抽样结果，使用95%的置信水平，相应置信区间：,问题1：大学生平均月生活费的测算模型,结论：全校本科生的月生活费平均水平在520.70554.40元之间；男生的月生活费平均水平在505.15552.43元之间；女生的月生活费平均水平在545.83596.65元之间。,模型建立与求解,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,32,2、简单统计模型,问题1：大学生平均月生活费的测算模型,模型评价与应用,模型用到了估计精度为95%的参数
12、的区间估计，并且按性别不同，给出了不同的区间估计。 模型也可应用到很多实际问题的估计上， 比如：一个普通家庭日常收入与支出状况、一个城市人均住房情况等问题统计分析。,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,33,2、简单统计模型,“吸烟有害健康”， 请你建立一个数学模型，分析说明吸烟对人体有害的影响，这里可以只就吸烟对高血压病的影响作用。,问题2：吸烟对血压的影响模型,（1）问题分析 为了研究吸烟对人体血压的影响，对吸烟的66人 和不吸烟的62人两类人群进行24小时动态监测，分别测量24小时的收缩压(24hSBP)和舒张压(24hDBP) ， 白天(6:0022:00)收缩压(dSBP
13、)和舒张压(dDBP)， 夜间(22:00次日6:00)收缩压(nSBP）和舒张压(nDBP)。,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,34,2、简单统计模型,问题2：吸烟对血压的影响模型,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,35,2、简单统计模型,问题2：吸烟对血压的影响模型,（3）模型建立：吸烟对人体血压是否有影响？从这些数据中能得到什么样的推断？ 吸烟者和不吸烟者两类样本分别来自两个非常大的总体，这个问题需要从两个样本的参数（均值与标准差）来推断总体参数的性质。 分别对6项血压指标作假设检验，针对每组数据指标提出假设：,；,；,其中 分别是吸烟者和不吸烟者群体（总体
14、）的血压指标均值。,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,36,2、简单统计模型,问题2：吸烟对血压的影响模型,（3）模型建立与求解：根据抽样数据，作检验统计量,经计算，第五项指标即夜间收缩压（nSBP）没有拒绝原假设，其余五项的指标即24小时的收缩压（24hSBP）和舒张压（24hDBP）、白天收缩压（dSBP）和舒张压（dDBP）、夜间舒张压（nDBP）都拒绝了原假设。,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,37,2、简单统计模型,问题3：男大学生的身高分布模型,（1）问题提出,；,现在考虑我国在校大学生中男性的身高分布问题，根据有关统计资料表明，在校男大学生群体的平均
15、身高约为170cm，且该群体中约有99.7%的人身高在150cm至190cm之间。 试问该群体身高的分布情况是怎样的呢？ 进一步地将150，190等分成20个区间，在每一高度区间上，研究相应人数的分布情况。 特别是中等身高（165cm至175cm之间）的人占该群体的百分比能超过60%吗？,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,38,2、简单统计模型,问题3：男大学生的身高分布模型,（2）问题分析：,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,39,2、简单统计模型,问题3：男大学生的身高分布模型,（3）模型建立：,；,将150，190等分成20个区间，得到高度区间：,对应的分布：
16、,身高在165至175之间的人占该群体的百分比为,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,40,2、简单统计模型,问题3：男大学生的身高分布模型,（4）模型求解：,；,虽然，通过变换再查标准正态分布的数值表，可以计算上面积分。但是，要得到各个身高区间上人数的分布情况，显然都用这种方法是很繁杂的。而采用计算机却是轻而易举的事，通过数值积分的基本方法来解决这个问题。,选用数值积分中的复合梯形公式求积方法，可以计算出误差小于0.0001的定积分值，从而可得出相应分布。,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,41,2、简单统计模型,问题3：男大学生的身高分布模型,（4）模型求解：,；,用数值积分命令：,结论：身高中等（165cm至175cm之间）的大学生约占54.67%，不足60% 。如果放宽些，如164cm至176cm之间，则
