多自由度系 统的 振动

《多自由度系 统的 振动》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多自由度系 统的 振动（90页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、,两自由度系统的运动微分方程 两自由度系统的模态 两自由度系统的强迫振动 多自由度系统的运动微分方程、模态、强迫振动,第五章 多自由度系统的振动,5.1 两自由度系统的运动微分方程,1、单自由度系统 描述系统运动状态只需一个广义坐标； 系统振动微分方程为一个二阶常微分方程； 数学求解一个二阶常微分方程。 系统有一个固有频率；系统自由振动的频率为固有频率。 2、多自由度系统 描述系统运动状态需多个广义坐标； 系统振动微分方程一般为多个相互耦合的二阶常微分方程组，即方程组各方程之间在变量上存在耦合（一个微分方程中包含多个变量和导数） 数学求解需联立多个方程组，借助线性变换方法消除变量耦合（解耦），

2、然后按单自由度系统的分析方法进行求解，再叠加，即模态分析。 系统具有多个不同数值的固有频率（特殊情况下数值可能相等或有一个等于零）。当系统按其中任一固有频率作自由振动时，称为主振动。主振动是一种简谐振动。 系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。,返回首页,两自由度系统的振动,多自由度系统的特点：,各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往往导致整个系统的振动。 运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求解联立方程。,两自由度系统的振动,多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。,汽车左右对

3、称，化为平面系统,两个自由度的振动系统 工程实际中大量的问题不能简化为单自由度系统，往往需要简化成多自由度系统； 两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是模型的简化、振动微分方程式的建立和求解的一般方法、以及系统响应表现出来的振动特性等等，两自由度系统的多自由度系统没有什么本质上区别，却有数学上求解比较简便的好处。 研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。,5.1 两自由度系统的运动微分方程,例 4.1 图a)是一个典型的二自由度弹簧阻尼器质量系统，分别在m1，m2建立坐标系O1x1，O2x2以描述m1，m2的振动。坐标原点O1，O2分别取 m1，m2的静平衡位置。两个坐标系

4、的正向均向右。,5.1 两自由度系统的运动微分方程,设 m1，m2沿各自的坐标正向分别移动了x1，x2 画出隔离体如图 (b)所示。,5.1 两自由度系统的运动微分方程,根据牛顿第二定律可以得到,5.1 两自由度系统的运动微分方程,写成矩阵形式,5.1 两自由度系统的运动微分方程,均是对称矩阵,定义：系统的质量矩阵,刚度矩阵,阻尼矩阵,质量影响系数,阻尼影响系数,刚度影响系数,5.1 两自由度系统的运动微分方程,设位移向量 x =x1，x2T,速度向量,激励向量 F(t) =F1(t)，F2(t)T,加速度向量,两自由度系统的运动微分方程：,5.1 两自由度系统的运动微分方程,双质量弹簧系统的

5、自由振动,略去激励力及其它阻尼。 两自由度的弹簧质量系统，两物体均作直线平移，,质量矩阵,刚度矩阵,5.1 两自由度系统的模态,13,假设系统的运动为,代入运动方程，两边左乘uT,即：,对于正定系统，M正定、K正定、因此总是大于.令=2,对于正定系统，只能出现如上式x(t)的同步运动，称为主振动。,5.1 两自由度系统的模态,代入运动微分方程,上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：,5.1 两自由度系统的模态,化简可得代数齐次方程组,这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程,主振动,5.1 两自由度系统的模态,对于两自由度系统，存在2个特征值和特征向量。 记：u（i）为对应于特征值

6、的特征向量，称为第i 阶主振型（又称固有振型） i 通常按升序排列，称其为第i 阶固有频率。 () 和 () 也被称为系统的模态向量。,特征方程,特征值 2,特征向量 u,对于两自由度系统，存在2个特征值和特征向量。 记：u（i）为对应于特征值 的特征向量，称为第i 阶主振型（又称固有振型） i 通常按升序排列，称其为第i 阶固有频率。 () 和1也被称为系统的模态向量。 每一个模态向量和相应的固有频率构成系统的一个模态。 () 和1 组成第一阶模态， () 和2组成第二阶模态。 两自由度系统正好有两个模态，代表两种形式的同步运动。,5.1 两自由度系统的模态,5.1 两自由度系统的模态,5.

7、2.3 系统的通解,为了书写简便，引入符号：,5.1 两自由度系统的模态,5.2.3 系统的通解,频率方程是2的二次代数方程，它的两个特征根为,弹簧刚度和质量恒为正数，a，b，c，d的值都是正数,和,都是实根,之间有两个确定的比值。,19,固有振型,将特征值,和,分别代回方程组,任一式,对应于,和,，振幅A1和A2,这个比值称为振幅比,虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。,5.1 两自由度系统的模态,固有振型（主振型）,对应于,和,振幅A1和A2，之间有两个确定的比值。,两个质量任一瞬时的位移的比值x1/x2也同样是确定的

8、，并且等于振幅比 1 / 2,在振动过程中系统各点位移的相对比值都可由振幅比 1 / 2 确定 振幅比决定了整个系统的振动形态，称为主振型,5.1 两自由度系统的模态,固有振型（主振型）,说明系统以频率1振动时，质量与总是按同一个方向运动，而以频率2振动时，则按相反方向运动。,5.1 两自由度系统的模态,主振动,系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的主振动,第一阶主振动为,第二阶主振动为,系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。,5.1 两自由度系统的模态,例1 试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k

9、1k2k3k，物体的质量m1m，m22m。,分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡 位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为,解：（1）建立运动微分方程式,5.1 两自由度系统的模态,质量矩阵,刚度矩阵,将M和K代入频率方程，得,系统的第一阶和第二阶固有频率为,（2）解频率方程，求i,5.1 两自由度系统的模态,将 、 分别代入，得,（3）求主振型,主振型为,节点,5.1 两自由度系统的模态,例2 在上题所示系统中，已知m1= m2=m , k1= k3=k, k2= 4k，求该系统对以下两组初始条件的响应： （1）t0，x101cm

10、， ; （2） t0，x101cm， 。,将M、K代入频率方程，得,对应的两个主振型和振幅比为,解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为,5.1 两自由度系统的模态,将初始条件（1）代入式，解得,这表明，其响应为频率1、2的两种主振动的线性组合。,5.1 两自由度系统的模态,这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率2作谐振动。,再将初始条件（2）代入式，得,5.1 两自由度系统的模态,5.1 两自由度系统的模态,5.1 两自由度系统的模态,5.1 两自由度系统的模态,5.1 两自由度系统的模态,5.1 两自由度系统的模态,5.1 两自由度系统的模态,5.1 两自由度系

11、统的模态,5.1 两自由度系统的模态,返回首页,Theory of Vibration with Applications,它的展式为,则特征方程可改写为,这就是特征方程的两组特征根eigenvalues and eigenvectoes 。,特征根,是两个大于零的不相等的正实根,两自由度系统的振动 固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1、2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低的频率1 称为第一阶固有频率；较高的频率2称为第二阶固有频率。由 式看出，固有频率1、2与运动的初始条件无关，仅与振动系 统固有频率的物理特性，即物体

12、的质量、弹性元件的刚度有关。,两自由度系统的振动 固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,将固有频率1代入方程的解，得,振型,两自由度系统的振动 固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第二主振型,第一主振型,振幅比 the ratio of the amplitudes,由,得，两方程线性相关，A1、A2不独立。,两自由度系统的振动 固有频率与振型,返回首页,系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即,这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。,将1

13、、2之值代入，得,这表明，在第一主振动中，质量m1与m2沿同一方向运动；在 第二主振动中m1、m2的运动方向则是相反的。系统作主振动 时，各点同时经过平衡位置，同时到达最远位置，以与固有 频率对应的主振型作简谐振动。,两自由度系统的振动 固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即,由运动的初始条件确定。,写成矩阵形式,两自由度系统的振动 固有频率与振型,返回首页,自由振动微分方程,取两物体为研究对象，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。在水平方

14、向的受力如图示，由牛顿第二定律得,两自由度的弹簧质量系统。两物体均作直线平移，略去激励力及其它阻尼。,两自由度系统的振动 无阻尼自由振动微分方程,返回首页,质量矩阵,刚度矩阵,质量影响系数,刚度影响系数,加速度列阵,坐标列阵,两自由度系统的振动 无阻尼自由振动微分方程,返回首页,根据微分方程的理论，设方程的解为,这组解可写成以下的矩阵形式,代入微分方程后，化简可得代数齐次方程组,两自由度系统的振动 无阻尼自由振动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,它的展式为,则特征方程可改写为,这就是特征方程的两组特征根eigenvalues and

15、 eigenvectoes 。,特征根,是两个大于零的不相等的正实根,两自由度系统的振动 固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1、2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低的频率1 称为第一阶固有频率；较高的频率2称为第二阶固有频率。由 式看出，固有频率1、2与运动的初始条件无关，仅与振动系 统固有频率的物理特性，即物体的质量、弹性元件的刚度有关。,两自由度系统的振动 固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,将固有频率1代入方程的解，得,振型,两自由度系统的振动 固有

16、频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第二主振型,第一主振型,振幅比 the ratio of the amplitudes,由,得，两方程线性相关，A1、A2不独立。,两自由度系统的振动 固有频率与振型,返回首页,系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即,这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。,将1、2之值代入，得,这表明，在第一主振动中，质量m1与m2沿同一方向运动；在 第二主振动中m1、m2的运动方向则是相反的。系统作主振动 时，各点同时经过平衡位置，同时到达最远位置，以与固有 频率对应的主振型作简谐振动。,两自由度系统的振动 固有频率与振型,