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1、1,第三章 函数逼近与计算 1 引言与预备知识,1.问题的提出 用插值的方法对这一函数进行近似,要求所得到的插值多项式经过已知的这n1个插值节点;在n比较大的情况下,插值多项式往往是高次多项式,这也就容易出现振荡现象（龙格现象），即虽然在插值节点上没有误差,但在插值节点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。于是,我们采用函数逼近的方法。,2,所谓函数逼近是求一个简单的函数 , 例如 是一个低次多项式,不要求 通过已知的这n1个点,而是要求在整体上“尽量 好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有 误差 ,函数逼近就是从整 体上使误差 尽量的小 一些。 2.数学描述
2、 “对函数类A中给定的函数 ，要求在另 一类较简单的便于计算的函数类B中，求函数 ，使 与 之差在某种度量 意义下最小。”,3,函数类 A通常是区间上的实连续函数，记作 ；函数类B通常是代数多项式，分式有 理函数或三角多项式。 中函数 的 -范数定义为: -范数，它满足范数的三个性质： I） ，当且仅当 时才有 ； II） 对任意 成立，a为任意实数； III）对任意 ，有,4,度量标准最常用的有两种，一种是 在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近或 均匀逼近； 另一种度量标准是 用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平 方逼近。这里符号 及 是范数。本章主要 研究在这两种度量标准下用代数多项式
3、逼近 。,5,3.维尔斯特拉斯定理 用 一致逼近 ,首先要解决存在性 问题，即对 上的连续函数 ,是否存在 多项式 一致收敛于 ？维尔斯特拉斯 （Weierstrass）给出了下面定理： 定理1 设 ，则对任何 ,总 存在一个代数多项式 ，使 在 上一致成立。 证明：略。（伯恩斯坦构造性证明）,6,假定函数的定义区间是0,1,可通过线性代换: 把 映射到 。 对给定的 ，构造伯恩斯坦多项式, 此为n次多项式: 其中 ，且 这不但证明了定理1，而且给出了 的一个逼近 多项式 。多项式 有良好的逼近 性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得 多，实际中很少被使用。,7,2 最佳一致逼近多项式 2
4、-1 最佳一致逼近多项式的存在性,切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他 不让多项式次数n趋于无穷，而是固定n，记次数 小于等于n的多项式集合为 ,显然 。 记 是 上一 组线性无关的函数组，是 中的一组基。 中 的元素 可表示为 其中 为任意实数。要在 中求 逼近 ，使其误差,8,这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。,9,为了说明这一概念，先给出以下定义。 定义1 ，称 为 在 上的偏差。 显然 的全体组成一个集合， 记为 ,它有下界0。若记集合的下确界为 则称之 为在 上最小偏差。,10,定义2 假定 ，若存在 则称 是 在 上的最佳一致逼近多 项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳
5、逼近多项 式。 注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存 在，但可证明下面的存在定理。 定理2 若 ,则总存在 ， 使 . 证明略。,11,2-2 切比雪夫定理,为研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差 点定义。 定义3 设 ，若在 上 有 则称 是 的偏差点。 若 ，称 为“正”偏差点。 若 ，称 为“负”偏差点。 由于函数 在 上连续，因此,至 少存在一个点 ，使,12,也就是说 的偏差点总是存在的。下面讨论 最佳逼近多项式的偏差点性质。,13,定理3 若 是 的最佳逼 近多项式，则 同时存在正负偏差点。 下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪 夫定理。 定理4 . 是 的最佳逼近 多项式的充
6、分必要条件是 在 上至少 有n+2个轮流为“正”、“负”的偏差点，即有n+2 个点 ，使 ，使 这样的点组称为切比雪夫交错点组。,14,定理4说明用 逼近 的误差曲线 是均匀分布的。由这定理可得 以下重要推论。 推论1 若 ,则在 中存在唯一 的最佳逼近多项式。 推论2 若 ，则其最佳逼近多项 式 就是 的一个拉格朗日插值多 项式。,15,16,17,3 函数平方逼近,用均方误差最小作为度量标准，研究函数 的逼近多项式，就是最佳平方逼近 问题。 若存在 ，使 就是 在 上的最佳平方逼近多项式.,18,19,由于 是关于 的二次函 数，利用多元函数求极值的必要条件 于是有 (内积定义 ),20,
7、这是关于 的线性方程组，称为法 方程，由于 线性无关，故系数行列 式 ，于是此方程组有唯一 解 ，从而得到,21,定理5. 在 上线性无关 的充分必要条件是它的克来姆（Gramer）行列 式 ，其中,22,若令 ，则平方误差为 由于 所以,23,若取 ，则要在 中求n次最佳平方逼近多项式 若用H表示 对应的矩阵， 即,24,此为希尔伯特（Hilbert）矩阵， 记 ，则 的解 即为所求。,25,例:设 ，求0,1上的一次最佳平方 逼近多项式。 解: 利用公式 得 方程组为 解出,26,平方误差 最大误差 用 做基，求最佳平方逼近多项 式，当n较大时，系数矩阵是高度病态的，求法 方程的解，舍入误差很大，这时要用正交多项 式做基，才能求得最小平方逼近多项式。,27,4正交多项式,若首项系数 的n次多项式 ,满足 就称多项式序列 ，在a,b上带 权 正交，并称 是 a,b上带权的n次 正交多项式。,28,构造正交多项式的格拉姆施密特（Gram-Schmidt） 方法 定理：按以下方式定义的多项式集合 是区 间a,b上关于权函数 的正交函数族。,29,例：求 在0，1上的二次最佳平 方逼近多项式。 解： 构造正交多项式,30,31,
