《数分课件sxfx21章节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数分课件sxfx21章节（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,西南财经大学 省级精品课程 经济管理数学分析课题组版权所有 请勿外传,2,第二章 数列极限,1 数列极限概念 2 收敛数列的性质 3 数列极限存在的条件,经济管理数学分析,3,1 数列极限概念,第二章 数列极限,4,极限的重要性,（1） 极限是一种思想方法,（2）极限是一种概念,（3） 极限是一种计算方法,从认识有限到把握无限,从了解离散到理解连续,数学分析中许多概念是用极限定义的,许多经济、物理、几何量需要用极限来求,第二章 数列极限1 数列极限概念,5,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,播放,一 极限概念的引入,第二章 数列极限
2、1 数列极限概念,6,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,一 极限概念的引入,第二章 数列极限1 数列极限概念,7,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,一 极限概念的引入,第二章 数列极限1 数列极限概念,8,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,一 极限概念的引入,第二章 数列极限1 数列极限概念,9,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,一 极限概念的引入,第二章 数列极限
3、1 数列极限概念,10,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,一 极限概念的引入,第二章 数列极限1 数列极限概念,11,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,一 极限概念的引入,第二章 数列极限1 数列极限概念,12,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,一 极限概念的引入,第二章 数列极限1 数列极限概念,13,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,一 极限概念的引入,第二章
4、数列极限1 数列极限概念,14,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,一 极限概念的引入,第二章 数列极限1 数列极限概念,15,正六边形的面积 A1,正十二边形的面积 A2,正62n1形的面积 An,第二章 数列极限1 数列极限概念,割圆术问题：,16,2.截棰问题（P23例1）：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭” 庄周庄子天下篇,0,第二章 数列极限1 数列极限概念,17,3.数列的概念,定义(补充) 如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定 的实数an，则得到一个序列 a1, a2, a3, , an , , 这一序列称为无穷
5、数列，简称数列. 记为an，其中第n项an称为数 列的通项(或一般项).,例如:,2, 4, 8, , 2n , ,1, -1, 1, , (-1)n-1, ,记为：,记为：,记为：,记为：,记为：,第二章 数列极限1 数列极限概念,18,注 (1),数列对应着数轴上一个点列. 可看作一动点在数轴上依 次取,(2) 数列an可以看作自变量为正整数n的函数: an=f(n), nN .,第二章 数列极限1 数列极限概念,定义(补充) 如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定 的实数an，则得到一个序列 a1, a2, a3, , an , , 这一序列称为无穷数列，简称数列. 记为an，
6、其中第n项an称为数 列的通项(或一般项).,19,1,o,2 x,二 数列的极限,从上述演示得到如下结果:,当n无限增大时，如果数列an的一般项an无限接近于常数 a，则常数a称为数列an的极限，或称数列an收敛于a，记为,数列极限的通俗定义:(P23),例如,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,第二章 数列极限1 数列极限概念,20,当n无限增大时，an无限接近于a . 当n无限增大时， ana无限接近于0 . 当n无限增大时， |ana|无限接近于0 . 当n无限增大时，|ana|可以任意小，要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后，|an-a|能小于事先给定的任意
7、小的正数.,分析,因此，如果 n 增大到一定程度以后， |ana|能小于事先给定的 任意小的正数，则当n无限增大时，an无限接近于常数a.,当n无限增大时，如果数列an的一般项an无限接近于常数a，则数列an收敛a.,第二章 数列极限1 数列极限概念,数列极限的通俗定义:(P23),21,如前例,继续下去。,第二章 数列极限1 数列极限概念,22,由 的任意性，不等式 |an 1| N 表示.,对无论多么小的正数 都可以找到相应的一个 正整数，使得从第 N 项以后(n N)各项都满足 |an1| ，即,对 使得当 n N时, 恒有|an1| 成立.,从而当 n时 以1为极限,第二章 数列极限1
8、 数列极限概念,继续下去，,23,数列极限的精确定义（P23定义1）,设an为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数 ， 总存在正整数N，使得当nN 时，不等式 |ana | 总成立，则称常数a是数列an的极限，或者称数列an收敛于a 记为,如果不存在这样的常数a，说数列an没有极限，或说an发散., 0 , N N 当 n N 时 有| an a | .,数列极限定义的简记形式,定义1称为数列极限的N定义.,第二章 数列极限1 数列极限概念,24,数列极限的几何意义, 0, NN 当n N 时 有|ana| .,当nN时 点an一般落在邻域 ( a - e , a + e )外,当nN时
9、 点an 全都落在邻域( a - e , a + e )内,即,任意给定a的e 邻域( a - e , a + e ),存在 NN,注,第二章 数列极限1 数列极限概念,25,分析,例,证, 0, NN 当n N 时 有|ana| .,对于 0,要使,只要,即,因为 0,当 n N 时 有,P24例2,第二章 数列极限1 数列极限概念,26,分析,例,证, 0, NN 当n N 时 有|ana| .,对于 0,要使,只要,即,因为 0,当 n N 时 有,第二章 数列极限1 数列极限概念,27,分析,例,证,对于 0,要使,只要,即,因为 0,当 n N 时 有,(当 n 2 时),P24例3
10、及注,第二章 数列极限1 数列极限概念,28,习题：P271习题1-2题,第二章 数列极限1 数列极限概念,29,分析,例4(P25) 设|q| 1, 证明等比数列 q , q2, , qn, 的极限是0.,对于 0，,|qn - 0| = |q|n e ，,当 n N 时，有,因为 0，,证法1, N =,第二章 数列极限1 数列极限概念,要使,| an 0 |,=| qn 0 |,= |q|n .,| an 0 | e ,|q|n e , 因此有,只要,ln|q|n ln e ,即 nln|q| lne ，,30,| qn 0 |= |q|n,|qn - 0| = |q|n e ,当 n
11、N 时，有,因为 0，,证法2, N =,若 q = 0，,则结果是显然的.,现设 0 |q| 1，,我们有,而 (1+h)n,第二章 数列极限1 数列极限概念,则 (1+h)n 1+nh ，所以,31,例5(P25),证 (1) 设 a = 1, 结论显然成立.,(2) 设 a 1,从而, 1+ nh, 0,因此,第二章 数列极限1 数列极限概念,32,(3) 设 0 a 1,即 0, N, 当nN时, 有, .,(因 0 a 1),综合得,第二章 数列极限1 数列极限概念,33,结论(补充)：,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时，关键是任意给定 0，
12、寻 找N，但不必要求最小的N.,第二章 数列极限1 数列极限概念,34,例,证, 0,由于,要使 | an 1 | ,则当 n N 时,有,第二章 数列极限1 数列极限概念,35,问题：数列an不以a为极限或数列an发散该如何描述？,数列an不以a为极限的定义(补充)：, 00, NN n0 N 时 有|an0a|0 .,数列an发散的定义(补充)：, aR 00, NN n0 N 时 有|an0a|0.,数列an发散,证,0=1， aR分两种情况：,当a0，,NN，,n0(奇数) N 时 有,当a 0，,NN，,n0(偶数) N 时 有,第二章 数列极限1 数列极限概念,36,从几何上可得到
13、 数列极限的等价定义（P26定义1）,任给 0，若在U(a,)之外数列an中的项至多只有有限个， 则称数列an收敛于a.,若存在某0 0，使得数列an中有无穷多项落在U(a,0)之外，则数列an一定不以a为极限.,三 数列极限的等价定义,第二章 数列极限1 数列极限概念,37,第二章 数列极限1 数列极限概念,38,例8(P27),第二章 数列极限1 数列极限概念,39,习题：P271习题3-8题,第二章 数列极限1 数列极限概念,数列极限的其它等价定义(补充), 0 , N N 当 n N 时 有| an a | ；,mN , N N 当 n N 时 有| an a | ；, 0 , N N 当 n N 时 有| an a | K ，,其中K是一个与 和 n 无关的正常数.,
