《《高等流体力学》第6章 不可压理想流体平面无旋流动》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等流体力学》第6章 不可压理想流体平面无旋流动（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章第六章 不可压理想流体平面无旋流动不可压理想流体平面无旋流动 主主 讲：刘全忠讲：刘全忠 单单 位：能源科学与工程学院位：能源科学与工程学院 流体机械及工程研究所流体机械及工程研究所 Email： 6-1 平面流动的流函数及其性质 柯西-黎曼（Cauchy_Rimann）条件： 令复变函数( ) ,W zizxiy=+=+ 则 dW ii dzxxyy =+= 若 , xyyx = 满足柯西-黎曼条件，则是的 解析函数，满足线性叠加原理，故可以用基本解的 叠加来描述复杂流动，这种方法叫基本解叠加或奇 点法。 引入复位势： ( )W zi=+ zxiy=+ ( )W zi=+ 一、流函数的
2、定义：连续方程的两种形式 1 0 D V Dt += 若不可压： 引入流函数来满足连续性方程： () 0V t += 若定常： 0V= () 0V= 2112 1 212 1 0 hVhV V hhqq =+= () 2112 1 212 1 0 hVh V V hhqq =+= 流 函 数 2112 21 ,hVhV qq = 2112 21 ,hVh V qq = 拉格朗日 流函数 上面的正负号是人为规定，一般把流函数对坐标的上面的正负号是人为规定，一般把流函数对坐标的 求导得到的速度为顺时针视为正值。求导得到的速度为顺时针视为正值。 二、不可压平面流动的流函数的性质 常用坐标系中平面流动
3、流函数与速度分量间的关系： , uv yx = 直角坐标系柱坐标系自然坐标系 , r rVV r = 2 12 21 ,0h vhV qq = 以直角坐标系中的流函数为例说明其基本性质： 1、流函数的值是速度 的矢量势的模：V ()() Vuivjijikjk yxxy =+=+ ()() ikjkijk xyxy =+=+ () kk= = 2、等流函数线就是流线。 流线方程： 3、两点的流函数值之差等于过此两点连线的流量。 () () BB AA BB l AA BB BA AA Qn Vdlnk dl kn dle dl dld = = = 0vdr= ()()() vdrkdrdkdr
4、rk= = d k= 故沿流线方向，即0d=const= x y B A dl n 与与AB之间的形状无关；之间的形状无关； 若若B为为A绕一圈后得到的点：绕一圈后得到的点：为单值函数时，为单值函数时， Q=0； 为多值函数时，需讨论。为多值函数时，需讨论。 4、流函数可以是多值函数。 过内边界L0的总流量不为零（如 水下爆炸、水下气泡运动等） 则沿封闭曲线积分：() 0 L n V dl= L域内无源无汇，视 P 0 P 1 L 0 L 1dAdl= 于是： ()() 10 0 LL n V dln V dlmQ= 故()()() 0 100 0 PP PP LPP n V dln V dl
5、Qmn V dl=+=+ 5、流函数的调和量的负值等于涡量的模 ()() vkkk = = = 若流动无旋，则： 2 0= ()() 2 kkk+ = ()() () 2 1D vvfp Dt + = + 6-2 不可压理想流体平面流动的流函数方程 一、不可压理想流体平面流动的流函数方程 理想流体的佛里德曼方程 ()() () 0 0 vkvv z v = = = = 0f= ()0p = 平面流动： 同理： () 00 D vor tDt + = 质量力有势： 正压流体： 方程可写为： 其中： 再由： 可得： 这就是理想的不可压流体（或正压流体）质量力有 势条件下平面流动的流函数方程流函数方
6、程。 ()() ()k kvkk = = 2 = () 0v t + = ()() 22 0k t + = 二、不可压理想流体定常平面流动的流函数方程 两者平行 令： 则： () 2 k t () 2 0 =+ ()( )( ) 2 ff = = ( ) 2 co stfn+= 无意义，可取0 沿流线，上式变为一个泊松方程，即沿 流线有，沿流线的涡量为常数。 const= const = 三、不可压理想流体平面无旋流动的流函数方程 无旋时： 故流函数方程： 2 0 = = 2 0=对定常与非定常都适用 四、流函数的物面边界条件 对应流函数方程，物面边界 条件也应以流函数的形式表 示出来。 物面
7、上： ()() 0n vnkkn l = = = = = 故可提出无分离边界条件： n nk= ( )bconst= vk= = 6-3 不可压理想流体平面无旋流动的速度 势与流函数的关系 一、柯西-黎曼条件 速度与势函数、流函数的关系： 直角坐标系下： 柱坐标系下： ,uv xyyx = 柯西-黎 曼条件 11 , r vv rrrr = 引入复势：( )W zi=+ 因此：( ) dW z ii dzxxyy =+= 和构成一个复势，满足柯西-黎曼条件且可导。 二、等势线与等流线的正交性 故： 即： ()() vkvk= = ()0k = 可见等势线与等流线正交。 对平面问题为0 ()0k
8、= 0= 6-4 不可压理想流体平面无旋流动的复势 与复速度 一、复势与复速度 复速度 共轭复速度 二、解的可叠加性 任意两个或两个以上的解析函数的线性组合仍然 是解析函数。（ 和都是解析的，故W(z)也解析。 奇点叠加法：利用简单的复势进行线性组合来获 得解的方法。（因为简单复势往往带有奇点） ( )W zizxiy=+=+ 22 arctan i i dW i Vuv dzxx v dW i uivVe uivVe u dzxx =+= =+ = = + 例例：不可压平面无旋流动的流函数： 试求： 2 sin a r r = （a为常数） （1）势函数，复势和零流线的形状。 （2）通过圆的
9、体积流量Q和该圆周线的速度 环量。 （3）无穷远处的来流速度。 （4）物面上的压力分布pb及合力 （忽略质 量力）。 (), r( ) z za= V ()ra=F 解解：（1）根据势函数与流函数的相互关系： 2 2 1 1cos r a V rrr = 2 sin a rVrr rr = = + 22 2 22 1cossin coscos drdconst r aa drrdconst rr aa drconstrconst rr =+ =+ =+=+ 式中的常数可取为零。 ( ) ()() 22 2 2 2 cossin cossincossin 1 ii aa ziri rconst
10、rr a riiconst r a reaeconstzconst rz =+=+ =+ =+=+ 零流线满足： 2 sin0 a r r = 零流线形状：（圆柱绕流）;0,zra= （2）根据环量的定义和流函数的性质： () zaza ddV dldld iQdiddz dz dQd = = = +=+= = ( ) 2 2 2 2 00 Reslim0 z ada z zdzz = 2 2 10 zaza da iQdzdz dzz = += 根据柯西积分定律：在简单的封闭周线c及其围成 区域内，函数f(z)解析且单值，则：( )0 c f z dz = 利用残数定理（留数定理）： ( )
11、 22 22 0 2Res0 za aa dzi zz = = 00,0iQQ+= = （3）无穷远处的来流速度的复速度为：V 2 2 limlim 11 i zz da V e dzz = 用代表无穷远处来流的夹角（攻角）： 1;0VVi = 22 22 1cos 1sin r aa ee rr =+ （4）对于定常流动的不可压流体忽略质量力的柯 西-拉格朗日积分为： () 22 2 1 222 pVpV ppV =+ 物面上：() 222 2sin4sin1 4sin 2 bbb VeVpp =+ 11 rr Vkeekee rrrr = =+= 物面上受的合力： () 2 2 2 0 12 sin 2 2 sincossin0 b zaza Fp ndlpndl ijad = = = + =+= 6-5 若干简单流动的速度势和流函数及复势 一、均匀流场 积分得： cos sin uV vV = = V x y o ()() () ddrdr Vudxvdy dVkdrdrk V dx jdyi Vvdxudy =+ = = += + cossin sincos xVyV xVyV =+ = +
