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1、普通高等教育“十一五”国家级规划教材 傅里叶光学第2版电子教案,周哲海 吕乃光 编著,机械工业出版社,第五章 光学成像系统的频率特性,本章主要内容,1、透镜的成像性质 2、成像系统的一般分析 3、衍射受限的相干成像系统的频率响应 4、衍射受限的非相干成像系统的频率响应 5、像差对成像系统传递函数的影响 6、相干和非相干成像系统的比较 7、光学链*,0、序 言,光学成像系统是信息传递的系统: 光波携带输入图像信息（图像的细节、对比、色彩等）从物平面传播到像平面，输出像的质量完全取决于光学系统的传递特性。,输入图像信息 （图像的细节、对比、色彩等）,物平面,像平面,光学系统,输出图像信息,（传递特
2、性）,在一定条件下，成像系统可看作空间不变的线性系统，因而可以用线性系统理论来研究它的性能。将线性系统理论与傅里叶分析方法相结合，可以全面研究系统的空间频率特性或传递函数。 20世纪50年代，霍普金斯完整提出了光学传递函数的概念和处理方法。它是一种全面评价光学系统成像质量的科学方法，并成为成像理论的重要基础。,1、透镜的成像性质,回顾一下，透镜为什么具有傅里叶变换和成像功能？ 什么是成像？ 所谓成像就是指照明一个置于透镜之前的物体，使其经由透镜在另一位置出现与物体非常相似的光场强度分布。 所成的像包括实像和虚像两类。,1、透镜的成像性质,本节只讨论最简单的情况：单色光照明下，一个薄的无像差的正
3、透镜对透射物体成实像。,分析思路： 按照光波的传播方向，逐面确定光场分布，从而确定出系统的输入输出关系，即,1、透镜的成像性质,利用菲涅耳衍射公式，可得,又知，透镜的复振幅透过率为,则透镜后的透射场分布为,Step 1：,1、透镜的成像性质,光波传播距离di，再次利用菲涅耳衍射公式，可确定Ui，,Step 2：,1、透镜的成像性质,将 代入上式，并进行整理，舍弃常数位相因子，可得到,若满足成像关系，则为1,该位相因子不再依赖于(x0,y0)，可以舍去！, 若点物产生的响应是一个很小的像斑。,1、透镜的成像性质,于是，上式得到简化,其中，G0是U0的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两次傅里叶变
4、换，物的频率成分在传递过程中将受到有限大小光瞳的截取。,由于,并且令光瞳函数的傅里叶变换为,1、透镜的成像性质,则利用卷积定理有,根据光波传播的线性性质，Ui可由下述叠加积分表示,将两式进行对比，有 1）几何光学理想像点的坐标 满足 2） 可看做系统脉冲响应，而且,1、透镜的成像性质,定义一个新函数表示几何光学的理想像，即,假如不考虑衍射效应，即认为透镜孔径无限大，此时P(,)=1，则,此时， （1）系统脉冲响应是函数，即点物可成点像； （2）几何光学的理想像是物体的准确复现，它的像平面是倒立的，而且 尺寸经过缩放。,1、透镜的成像性质,实际上，必须考虑透镜有限孔径产生的衍射效应，此时,显然，
5、脉冲响应就等于透镜孔径的夫琅和菲衍射图样，其中心位于理想像点,输出光场为,像的光场分布是几何光学理想像和系统脉冲响应的卷积。,(产生放大或缩小的几何像）,* 因此整个成像过程可描述为下图：前一过程实现图像的缩放，后一过程实现卷积运算，会损失信息。,1、透镜的成像性质,（1）上述卷积关系表明，由透镜构成的成像系统可看作是线性空间不变系统，其输入物和输出像之间的关系由卷积积分确定。,（2）可以从叠加性质和不变性两方面理解卷积成像的物理意义，右图是卷积成像的示意图。,2、成像系统的一般分析,任意的成像系统都可以分成三个部分，即从物面到入瞳的第一部分，从入瞳到出瞳的第二部分和从出瞳到像面的第三部分；
6、光波在一、三部分的传播可按菲涅耳衍射讨论； 对于第二部分即透镜系统，在等晕条件下，可把它看作“黑箱”，只要能够确定它两端的边端性质，整个透镜组的性质就可以确定下来。 对于实际的透镜组，边端性质差别很大，但总可以分为两类：衍射受限系统和有像差系统。,2.1 成像系统的普遍模型,2、成像系统的一般分析,衍射受限系统是指系统可以不考虑像差的影响，仅仅考虑光瞳产生的衍射限制。它的边端性质是：物面上任一点光源发出的发散球面波投射到入瞳上，被透镜组变换为出瞳上的会聚球面波。 有像差系统的边端性质是：物面上任一点光源发出的发散球面波投射到入瞳上，通过透镜组后，出瞳处的波前明显偏离理想球面波。,2、成像系统的
7、一般分析,2.2 阿贝成像理论,1873年，阿贝基于对显微镜成像的研究，提出了其衍射成像理论。它认为成像过程包括两次衍射过程： 从物体到透镜焦平面的一次衍射夫朗和费衍射：受物体调制的光场复振幅分布被分解为各频谱分量； 从透镜焦平面到像面的二次衍射：各频谱分量又复合为像。,2、成像系统的一般分析,实际上，两次衍射过程也是两次傅里叶变换过程，即从物面到焦平面的傅里叶变换，焦平面就是频谱面； 从焦平面到像面的傅里叶逆变换。,物面 透镜 焦平面 像面,根据之前的分析，因为透镜有限孔径大小的缘故，光学系统类似于一个低通滤波器，滤掉物体的高频成分，而只让一定范围内的低频成分通过系统，所以光学系统不能传递物
8、面的全部信息，像并不是物体的准确复现。,2、成像系统的一般分析,2.3 单色光照明的衍射受限系统,当单色光照明时，由于光波传播的线性性质，像面复振幅分布可以用叠加积分表示：,其中，U0是物面复振幅分布，h是系统的脉冲响应，它表示(x0,y0)处的点源在像平面(xi,yi)处产生的复振幅。,2、成像系统的一般分析,对于衍射受限系统，h是由从出瞳向理想像点(Mx0,My0)会聚的球面波产生的。由系统的边缘性质，出瞳面上受到出瞳大小限制的会聚球面波的傍轴近似是：,在像面上产生的光场分布可由菲涅耳公式写出,2、成像系统的一般分析,结果表明，单色光照明时，衍射受限系统的脉冲响应是光学系统出瞳的夫朗和费衍
9、射图样，其中心在几何光学的理想像点(Mx0,My0)处。而且该表达式表明该脉冲响应具有空间不变性！ 根据前面的分析，不难确定像的复振幅分布Ui是几何光学预言的理想像Ug与系统出瞳所确定的复振幅脉冲响应h的卷积：,将U(,)代入上式并进行整理，最终得到,其中， 是理想像的坐标，M为系统放大率，,2、成像系统的一般分析,2.4 非单色光照明,实际的照明光源绝不是理想单色的。事实上，照明光束的振幅和位相随时间变化的统计性质，将会对成像系统的性能产生重要影响。,非单色光照明时，xy平面光扰动随时间变化，可以用复值函数u(x,y;t)表示,其中， 是光波的平均频率，U(x,y;t)称为相幅矢量，是空间和
10、时间坐标的函数。,当采用非单色光照明物体时，每一物点的振幅和位相随时间作无规则变化；在像平面，与每一物点对应的脉冲响应也将随时间作无规则变化。最终像的强度分布将取决于这些脉冲响应之间的统计关系，也正是取决于物面上被照明各点振幅和位相的统计关系。,2、成像系统的一般分析,考虑两种典型的物体照明方式：空间相干和非相干照明。 相干成像系统对复振幅是线性的，可直接利用单色光照明的分析结果； 非相干成像系统对强度这一物理量是线性的，强度变换的脉冲响应正比于相干系统脉冲响应的平方。,3、衍射受限的相干成像系统的频率响应,3.1 相干传递函数,相干成像系统的物像关系由卷积积分描述，即,其中，,M为系统放大倍
11、数， Ug是几何光学理想成像的复振幅分布， 是复振幅脉冲响应(或相干脉冲响应）。,衍射受限的相干传递系统对于复振幅的传递是线性空间不变系统。,3、衍射受限的相干成像系统的频率响应,下面从频域的角度来分析成像过程： 选择复指数函数作为基元物分布，考察系统对各种频率成份的传递特性。定义系统的输入频谱Gg(fx,fy)和输出频谱Gi(fx,fy)分别为,把相干脉冲响应的傅里叶变换定义为相干传递函数(CTF )，即,则三者具有如下关系：,Hc表征了衍射受限的相干成像系统在频域中的作用，它使输入频谱转换为输出频谱。Hc决定于系统本身的物理结构，其与系统结构参数之间的关系为,3、衍射受限的相干成像系统的频
12、率响应,相干传递函数 (CTF ) Hc为,相干传递函数正比于经过坐标反射的光瞳函数； 考虑实际光瞳的有限大小，光瞳函数总是取0和1两个值，所以相干传递函数也是如此。也就是说系统是一个低通滤波器，系统在频域中有一个有限的通频带，此通带内全部频谱分量通过系统时不产生振幅和位相畸变，通带以外的频谱分量不能通过系统。 也可以借用单色光场传播的角谱方法来解释相干传递系统在频域的响应。,相干传递函数为： 光瞳本身的透过率函数就是频域的传递函数：,倾角(x,y)超过某一范围的平面波分量将被系统滤除，即超过某一频率范围的平面波将被系统滤除，如右图所示。,3、衍射受限的相干成像系统的频率响应,3.2 相干传递
13、函数的计算和运用实例,例1 衍射受限的相干成像系统，其出瞳是边长为l的正方形，光瞳函数是,则相干传递函数为,其中， 为截止频率。,3、衍射受限的相干成像系统的频率响应,例2 衍射受限的相干成像系统，其出瞳是直径为l的圆形孔径，光瞳函数是,其中， 为截止频率。,则相干传递函数为,4、衍射受限的非相干成像系统的频率响应,4.1 非相干照明时的物像关系式,非相干成像系统是强度变换的线性系统，物像关系满足如下卷积积分,其中， k是实常数； Ig是几何光学理想像的强度分布； Ii为像的强度分布； hi是光强度脉冲响应(或非相干脉冲响应、点扩散函数)，它是点物产生的衍射光斑的强度分布，而且有,上式卷积积分
14、关系表明，把点源作为输入的基元物，它将在像面上产生以几何光学理想像点为中心的像斑，物体上所有点源产生的像斑按强度叠加的结果就给出像面的强度分布。,4、衍射受限的非相干成像系统的频率响应,4.2 光强的空间频谱,由于光强脉冲响应hI是实函数，余弦函数是非相干成像系统的本征函数；因而可以选择余弦的光强分量作为基元物。,定义Ag(x,y)和Ai (x,y)分别为输入光强频谱和输出光强频谱，即,对应的归一化光强频谱为,4、衍射受限的非相干成像系统的频率响应,4.3 光学传递函数的定义及物理意义,(卷积定理),其中，HI是光强脉冲响应的傅里叶变换，对于零频成分则有：,定义非相干成像系统的归一化传递函数为
15、,通常把它称为非相干成像系统的光学传递函数(OTF)，它描述了非相干成像系统在频域的效应。,4、衍射受限的非相干成像系统的频率响应,因为OTF通常是复函数，所以可表示为,其中，,调制传递函数(MTF),相位传递函数(PTF),MTF描述系统对各频率分量对比度的传递特性，而PTF描述系统对各频率分量施加的相移。,4、衍射受限的非相干成像系统的频率响应,4.4 OTF与CTF的联系,CTF和OTF分别是描述同一成像系统采用相干照明和非相干照明时的传递函数，它们都取决于系统本身的物理性质，所以两者之间必然存在一定的联系。联系的纽带就是：,其中，CTF和OTF分别定义为,利用傅里叶变换的自相关定理不难
16、得出,4、衍射受限的非相干成像系统的频率响应,4.5 衍射受限系统的OTF,已知OTF为,对于相干照明的衍射受限系统，已知,则得到上述OTF的表达式为,衍射受限系统的OTF是光瞳函数的归一化自相关函数。 几何解释：分母是光瞳的总面积S0，分子代表中心为(-difx,dify)的经过平移的光瞳与原光瞳的重叠面积S(fx,fy)，求衍射受限的OTF只不过是归一化的重叠面积的计算问题：,4、衍射受限的非相干成像系统的频率响应,衍射受限系统的OTF的几何解释和一些特性：,(1) H(fx,fy)非负，因此系统只改变个频率分量的调制度，而不产生相移，它只需要计算MTF,(2) H(0,0)=1,(3) H(0,0)H(fx,fy),4、衍射受限的非相干成像系统的频率响应,4.6 衍射受限系统的OTF
