微分几何课件

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1、微分几何,主讲:钟定兴,课 程 介 绍,微分几何历史简介 微分几何是数学的一个重要分支,它渗透到各数学分支和理论物理等学科,成为推动这些理论发展的一项重要工具。 经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点邻近的性质,在微积分发明的同时,就开始了平面曲线微分几何的研究,而第一个作出重要贡献的是Euler(17071783).他在1736年引进了平面曲线的内在坐标,即曲线弧长这一概念,从而开始了内在几何的研究。将曲率描述为某一特殊角的变化率也是Euler的工作。他在曲面论方面也有重要贡献,特别值得一提的是他在测地线方面的一些工作,最早把测地线描述为某些微分方程组的解。,又在物理问题的推动下,

2、1736年他证明了:在无外力作用的情况下,一个质点如约束在一曲面上运动,它必定是沿测地线运动。 另一个历史人物是G.Monge(17461818),在筑城垒这个实际问题的推动下,他1771年开始写了关于空间曲线论的论文,发表于1785年,他用的是几何方法,并反映了他对偏微分方程的兴趣。Monge写了第一本微分几何课本,1807年出版,这课本共印了五版,一直发行到Monge逝世后三十年,足见该书在当时的重要作用。 F.Frenet(18161868)与J.Serret(18191885)分别于1847年和1851年独立地得出现在通称的Frenet-Serret方程(或Frenet方程)后,空间曲

3、线论才最后统一起来。,G.F.Gauss(17771855)的贡献见于1827年他的“弯曲曲面的一般研究”一文。他在微分几何方面的重要贡献,不仅在于他证明了许多惊人的新结果,更重要的是他致力于微分几何全新的探讨,具有非凡的洞察力,抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容。在微分几何发展经历了150年历史之久,Gauss建立了由第一基本形式所决定的曲面的内在几何,这是有深远的意义的。Gauss的内在几何以惊人的步伐将微分几何向前推进,但那时并未被人们所认识。 直到R.Riemann(18261866)才进一步发展了Gauss的内在几何学,1854年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间与几

4、何两者之间的差别。Riemann将曲面本身看成一个独立的几何实体,而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实体,从而他认识到二次,微分形式(现称为黎曼测度)是加到流形上去的一个结构,因此在同一流形上可以有众多的黎曼测度。Riemann意识到这件事是非凡的重要,把诱导测度与外加的黎曼测度两者区分开来,从而开创了黎曼几何,作出了杰出的贡献。其后,Levi-Civita等人进一步丰富了经典的黎曼几何。 二十世纪二、三十年代E.Cartan开创并发展了外微分形式与活动标架法,建立起李群与微分几何之间的联系,从而为微分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地,影响极为深远。 从局部微分几何到黎曼几何、微

5、分流形与纤维从理论的发展过程可以看到,除了微分几何本身研究中所产生的研究问题外,其他数学学科及物理学、力学等也推动了微分几何的发展。我们特别在这里强调一下理论物理与微分几何的相互影响,黎曼几何与广义相对论的,相互推进,既发展了引力理论,也促使微分几何本身进一步发展。近年来,整体黎曼流形的研究也被用到引力理论的研究中去。随着高能物理学的发展,规范场的重要性日益显著,纤维丛几何是规范场研究的一项有力的数学工具,微分几何中一些深入的内容如陈省身示性类、AtiyahSinger指标定理等都在研究中起了突出的作用。总之,微分几何在理论物理中的作用愈来愈显示出其重要意义,这是一个值得注意的动向,它必须进一

6、步推进微分几何的向前发展。,课程的教学目的和要求 微分几何是用微积分和线性代数的方法研究空间曲线和曲面的形状,找出决定曲线和曲面形状的不变量系统。微分几何课程是师范院校数学与应用数学专业的必修课。通过这门课程的学习,使学生掌握这门课程的基本概念、基本理论和基本方法,培养学生应用微积分和线性代数处理几何问题的能力,培养几何直观和图形想象能力,从具体到抽象的能力,为进一步学习现代微分几何打下扎实的基础。,课程的主要内容 本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论,主要内容有: (1)曲线论。包括参数曲线,曲线的弧长,曲线的曲率和Frenet标架,挠率与Frenet公式,曲线论基本定理,曲线

7、在一点处的标准展开,平面曲线。 (2)曲面论。包括曲面的定义,切平面与法线,曲面的第一基本形式,曲面上正交参数网的存在性,保长对应,保角对应,可展曲面,曲面的第二基本形式,法曲率,Gauss映射与Weingarten映射,主曲率和主方向的计算,Dupin标形和曲面在一点的标准展开,某些特殊曲面,曲面论基本定理。,课程的主要内容 本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论, (1)曲线论。包括曲线的弧长,曲线的曲率和Frenet标架,挠率与Frenet公式,曲线论基本定理,曲线在一点处的标准展开,平面曲线。 (2)曲面论。包括切平面与法线,曲面的第一基本形式,曲面上正交参数网的存在性,保长对应,保角对应,可展曲面,曲面的第二基本形式,法曲率,Gauss映射与Weingarten映射,主曲率和主方向的计算,Dupin标形和曲面在一点的标准展开,某些特殊曲面,曲面论基本定理。 (3)曲面的内蕴几何,包括测地曲率和测地挠率,测地线,测地坐标系,常曲率曲面,Gauss-Bonnet公式。,

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