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1、微分几何,主讲：钟定兴,课 程 介 绍,微分几何历史简介 微分几何是数学的一个重要分支，它渗透到各数学分支和理论物理等学科，成为推动这些理论发展的一项重要工具。 经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点邻近的性质，在微积分发明的同时，就开始了平面曲线微分几何的研究，而第一个作出重要贡献的是Euler(17071783).他在1736年引进了平面曲线的内在坐标，即曲线弧长这一概念，从而开始了内在几何的研究。将曲率描述为某一特殊角的变化率也是Euler的工作。他在曲面论方面也有重要贡献，特别值得一提的是他在测地线方面的一些工作，最早把测地线描述为某些微分方程组的解。,又在物理问题的推动下，
2、1736年他证明了：在无外力作用的情况下，一个质点如约束在一曲面上运动，它必定是沿测地线运动。 另一个历史人物是G.Monge(17461818)，在筑城垒这个实际问题的推动下，他1771年开始写了关于空间曲线论的论文，发表于1785年，他用的是几何方法，并反映了他对偏微分方程的兴趣。Monge写了第一本微分几何课本，1807年出版，这课本共印了五版，一直发行到Monge逝世后三十年，足见该书在当时的重要作用。 F.Frenet(18161868)与J.Serret(18191885)分别于1847年和1851年独立地得出现在通称的Frenet-Serret方程（或Frenet方程）后，空间曲
3、线论才最后统一起来。,G.F.Gauss（17771855）的贡献见于1827年他的“弯曲曲面的一般研究”一文。他在微分几何方面的重要贡献，不仅在于他证明了许多惊人的新结果，更重要的是他致力于微分几何全新的探讨，具有非凡的洞察力，抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容。在微分几何发展经历了150年历史之久，Gauss建立了由第一基本形式所决定的曲面的内在几何，这是有深远的意义的。Gauss的内在几何以惊人的步伐将微分几何向前推进，但那时并未被人们所认识。 直到R.Riemann（18261866）才进一步发展了Gauss的内在几何学，1854年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间与几
4、何两者之间的差别。Riemann将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实体，从而他认识到二次,微分形式（现称为黎曼测度）是加到流形上去的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼测度。Riemann意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与外加的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作出了杰出的贡献。其后，Levi-Civita等人进一步丰富了经典的黎曼几何。 二十世纪二、三十年代E.Cartan开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联系，从而为微分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远。 从局部微分几何到黎曼几何、微
5、分流形与纤维从理论的发展过程可以看到，除了微分几何本身研究中所产生的研究问题外，其他数学学科及物理学、力学等也推动了微分几何的发展。我们特别在这里强调一下理论物理与微分几何的相互影响，黎曼几何与广义相对论的,相互推进，既发展了引力理论，也促使微分几何本身进一步发展。近年来，整体黎曼流形的研究也被用到引力理论的研究中去。随着高能物理学的发展，规范场的重要性日益显著，纤维丛几何是规范场研究的一项有力的数学工具，微分几何中一些深入的内容如陈省身示性类、AtiyahSinger指标定理等都在研究中起了突出的作用。总之，微分几何在理论物理中的作用愈来愈显示出其重要意义，这是一个值得注意的动向，它必须进一
6、步推进微分几何的向前发展。,课程的教学目的和要求 微分几何是用微积分和线性代数的方法研究空间曲线和曲面的形状，找出决定曲线和曲面形状的不变量系统。微分几何课程是师范院校数学与应用数学专业的必修课。通过这门课程的学习，使学生掌握这门课程的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生应用微积分和线性代数处理几何问题的能力，培养几何直观和图形想象能力，从具体到抽象的能力，为进一步学习现代微分几何打下扎实的基础。,课程的主要内容 本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论，主要内容有： （1）曲线论。包括参数曲线，曲线的弧长，曲线的曲率和Frenet标架，挠率与Frenet公式，曲线论基本定理，曲线
7、在一点处的标准展开，平面曲线。 （2）曲面论。包括曲面的定义，切平面与法线，曲面的第一基本形式，曲面上正交参数网的存在性，保长对应，保角对应，可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射与Weingarten映射，主曲率和主方向的计算，Dupin标形和曲面在一点的标准展开，某些特殊曲面，曲面论基本定理。,课程的主要内容 本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论， （1）曲线论。包括曲线的弧长，曲线的曲率和Frenet标架，挠率与Frenet公式，曲线论基本定理，曲线在一点处的标准展开，平面曲线。 （2）曲面论。包括切平面与法线，曲面的第一基本形式，曲面上正交参数网的存在性，保长对应，保角对应，可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射与Weingarten映射，主曲率和主方向的计算，Dupin标形和曲面在一点的标准展开，某些特殊曲面，曲面论基本定理。 （3）曲面的内蕴几何，包括测地曲率和测地挠率，测地线，测地坐标系，常曲率曲面，Gauss-Bonnet公式。,
