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1、文科高等数学,,第十一讲(2) -常见随机变量,数学教研室：刘淑环,几个常见的随机变量,一、二项分布 二、泊松分布 三、指数分布 四、正态分布,一、二项概型,独立重复试验：每次试验的结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果。,（1）试验可以独立重复进行n 次； （2）每次试验只有两个可能结果A和非 A； （3）事件A在每次试验中出现的概率都是P(A)=P,满足上述三个条件的试验称为贝努利试验概型或称为二项概型。,二项概型,设n 次贝努利试验中事件A出现 的次数为X，则：,随机变量X服从参数为n和p的二项分布,二项分布的概率分布图,当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，要计算,泊松分布,
2、或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.,二项分布的近似计算,二、泊松分布,设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , , 且概率分布为：,其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的 泊松分布,记作XP( ).,泊松分布的图形特点,有关概率计算可查表,二项分布的泊松近似,当 n很大，p 很小时，有以下近似式：,其中,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.人的记忆力等,若 随机变量 X具有概率密度,三、指数分布,则称 X 服从参数为 的指数分布.,常简记为 XE( ) .,四、正态分布,若随机变量 X的概率密度为,记作,f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中 和 都是常数，
3、任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布.,数学期望,方差,正态分布简介,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,正态分布 的图形特点,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,f(x)以为对称轴，并在x=处达到最大值:,当x 时，f(x) 0,这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。,正态分布概率密度曲线特点,正态分布分布函数
4、图形特点,正态分布由两个参数和唯一确定， 一个是数学期望，一个是方差。当和不同时，是不同的正态分布。,标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,标准正态分布,标准正态分布密度与分布函数,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,正态分布的概率计算可利用标准正态分布函数数值表查表.,表中给的是x0时, 0(x)的值.,当-x0时,标准正态分布函数数值表,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,根据标准正态分布的分布函数表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,定理,正态分布标准化,若 XN(0,1),标准化,正态分布概率计算,例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会
5、在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,门高的设计,解: 设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我们来求满足上式的最小的 h.,求解分析,因为XN(170,62),查表得 (2.33)=0.99010.99,所以 =2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X| 1)=2 (1
6、)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,正态分布的3 法则,时，,这在统计学上称作“3 准则”,结论推广到一般的正态分布,当n很大，p接近0或1时，二项分布近似泊松分布;.,二项分布的正态近似分布，称为棣莫佛拉普拉斯定理.,如果n很大，而p不接近于0或1，可以证明，二项分布近似于正态分布,二项分布的正态近似,二项分布的正态近似,如果n很大，而p又不很小，可以证明，二项分布近似于正态分布。,正态分布的概率计算可以查表,例 将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，认为这枚硬币不均匀是否合理? 试说明理由.,解:
7、设X为10000次试验中出现正面的次数，,采用正态近似, np=5000, np(1-p)=2500,硬币是否均匀？,=1-(16),0,此概率接近于0，故认为这枚硬币不均匀是合理的 .,保险公司的盈利分析,例 某保险公司有3000个同龄人参加人寿保险。每人在每年的头一天交付保险费10元，已知这一年龄人的年死亡率为0.2%，死亡时其家属可向保险公司领取1500元。求：（1）保险公司一年中获利不少于15000元的概率；（2）保险公司亏本的概率。,求解分析,随机变量X表示3000个参加保险的人在一年中的死亡人数。则,（1）保险公司一年获利不少于15000元，即有,正态近似,即保险公司一年获利不少于
8、15000元的概率为94.14%。,（2）保险公司亏本，说明,即保险公司亏本的概率仅为0.71%。 这是一个概率很小的事件， 故可认为保险公司基本不会亏本。,求解分析,例 某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.,问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?,供电问题,用X表示在某时刻工作着的车床数，,依题意，,XB(200,0.6),现在的问题是：,求满足,设需N台车床工作，,（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.）,问题分析,由德莫佛-拉普拉斯极限定理,近似N(0,1),于是 P(XN)= P(0XN),这里 np=120, np(1-p)=48,由3准则， 此项为0。,查正态分布函数表得,由 0.999，,从中解得N141.5,即所求N=142.,也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.,,数学教研室：刘淑环,Thanks!,
