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1、第2章 逻辑代数与硬件描述语言基础,学习要点： 逻辑代数的基本定律和恒等式 逻辑代数的基本规则 逻辑函数的代数化简法 逻辑函数的卡诺图化简法,2.1 逻辑代数,2.2 逻辑函数的卡诺图化简法,退出,第2章 逻辑代数与硬件描述语言基础,2.1 逻辑代数,2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式,2.1.2 逻辑代数的基本规则,2.1.3 逻辑函数的代数化简法,退出,2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式,1、逻辑代数的定律、定理,（1）常量之间的关系,（2）基本公式,分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。,（3）基本定理,利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明AB=BA：,
2、(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC,分配律A(B+C)=AB+AC,=A+AB+AC+BC,等幂律AA=A,=A(1+B+C)+BC,分配律A(B+C)=AB+AC,=A+BC,0-1律A+1=1,证明分配律：A+BC=(A+B)(A+C),证明：,分配律A+BC=(A+B)(A+C),0-1律A1=1,分配律A(B+C)=AB+AC,0-1律A+1=1,2、常用恒等式,例如，已知等式 ，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：,（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。,（2
3、）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：,2.1.2 逻辑代数的基本规则,（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y，Y称为函数Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：,对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的
4、公式数目减少一半。例如：,注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。,一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。,一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。,2.1.3 逻辑函数的代数化简法,1、逻辑函数的表达形式,逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。,1)、最简与或表达式,乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。,最简与或表达
5、式,2)、最简与非-与非表达式,非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。,在最简与或表达式的基础上两次取反,用摩根定律去掉下面的非号,3)、最简或与表达式,括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。,求出反函数的最简与或表达式,利用反演规则写出函数的最简或与表达式,4)、最简或非-或非表达式,非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。,求最简或与表达式,两次取反,5)、最简与或非表达式,非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。,求最简或非-或非表达式,用摩根定律去掉下面的非号,用摩根定律去掉大非号下面的
6、非号,1)、并项法,逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。,若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。,运用摩根定律,运用分配律,运用分配律,2、逻辑函数的化简方法,2)、吸收法,如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。,运用摩根定律,（）利用公式，消去多余的项。,如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。,3)、配项法,（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。,4)、消去冗余项法,例：化简函数,解：先求出Y的对偶函数Y，并对其进行化简。,求Y
7、的对偶函数，便得的最简或与表达式。,本节小结,逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。 逻辑代数的公式和定理是推演、变换及化简逻辑函数的依据。 逻辑函数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和定理，且具有一定的运算技巧。,2.2 逻辑函数的卡诺图化简法,2.2.2 逻辑函数的最小项表达式,退出,2.2.1 最小项的定义及其性质,2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数,2.2.3 用卡诺图表示逻辑
8、函数,（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。,3个变量A、B、C可组成8个最小项：,（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。,3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：,2.2.1 最小项的定义及其性质,（3）最小项的性质：,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。,全部最小项的和必为1
9、。,任意两个不同的最小项的乘积必为0。,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和的形式，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式,2.2.2 逻辑函数的最小项表达式,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。,2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数,1、卡诺图的构成,逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。,将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。,卡诺图
10、的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项），即逻辑相邻变为几何相邻 。,每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻，两个相邻最小项可以合并消去一个变量：,每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻,最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的,最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的,两个相邻最小项可以合并消去一个变量,逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并,4个对角的最小项 ， ， ， ，也是相邻的,2、逻辑函数在卡诺图中的表示,（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数
11、的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,m1,m3,m4,m7,m6,m11,m14,m15,（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,变换为与或表达式,3、卡诺图的性质,（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。,（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为
12、一项，并消去3个变量。,小结：相邻最小项的数目必须为 个才能合并为一项，并消去几个变量。包含的最小项数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。,1、图形法化简的基本步骤,逻辑表达式或真值表,卡诺图,1,1,2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数,合并最小项,圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为 个。同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。不能漏掉任何一个标的方格。,最简与或表达式,冗余项,2,2,3,3,将代表每个圈的乘积项相加,两点说明：, 在有些情况下，最小项的圈法不只一
13、种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。,不是最简,最简, 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。,无关项：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为无关项，也叫做任意项，用符号“”表示。,2、具有无关项的化简,例如：判断一位十进制数是否为偶数。,输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。,A，B，C，D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于无关项，在逻辑函数表达式中用“di”表示。,含有无关项的逻辑函数可以表示成如下形式：,在逻辑函数的化简中，充分利用无关项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，无关项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果无关项对化简有利，则取1；如果无关项对化简不利，则取0。,不利用无关项的化简结果为：,利用无关项的化简结果为：,本节小结,逻辑函数的化简有公式法和图形法等。图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种方法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。在对逻辑函数化简时，充分利用无关项可以得到十分简单的结果。,
