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1、学科：奥数教学内容：第14讲 鸡兔同笼问题知识网络鸡兔同笼问题是我国古代数学著作孙子算经中的一个流传甚广的数学趣题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？翻译成现代汉语语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有几只？这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法也多种多样，但一般采用的是假设法。在解答应用题时，有时要采用“假设”的思想来分析，以找到解题途径。用假设思想解应用题，首先要根据题意去正确地判断应该怎样假设，并根据所做的假设，注意数量关系发生的变化，从所给的条件与变化了的数量关系的比较中做出适当的调整，来找到正确答案。重点难点运
2、用假设法是求解这类可以转化为鸡兔同笼问题的应用题的关键。学法指导用假设法解应用题的步骤：一是要根据题意正确地判断怎样“假设”，二是依据假设，按照题目所给的数量关系进行推算，所得结果与题中对应的数量不符时，要能够正确地运用别的已知量加以调整，三是进而得出正确的答案。经典例题例1一个农夫有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡、兔各有多少？思路剖析鸡兔同笼问题适用的基本方法是假设法。假设这笼里全是鸡，那么鸡脚的总数应为：502=100（只），与实际相比较，脚减少的数为140100=40（只）。脚减少的原因是每把一只兔当作一只鸡时，要少42=2（只）脚。所以实际的兔数是40（42）=20（
3、只），若先假设的全是鸡，则先求出的是兔数。解答解法一：设全是鸡，那么相应的鸡脚数：502=100（只）与实际相比，脚减少的数：140100=40（只）兔脚与鸡脚的差42=2（只）实际兔数为402=20（只）那么实际的鸡数：5020=30（只）答：有鸡30只，有兔20只。解法二：利用方程求解：设农夫有鸡x只，那么有免（50x）只。那么鸡有脚2x只，兔有脚4（50x）只。列方程为2x+4（5x）=140解方程2x+2004x=1402x=60 x=3050x=5030=20则鸡有30只，兔有20只。解法三：（不拘于传统的解法，让我们的思维发散，更具有创造性。）农夫想知道鸡、兔分别有多少只，他做了一
4、个有趣的设想，就是假设每只兔子又长出一个头来，把它劈开，变成“一头两脚”的两只“半兔”，半免和鸡都有两只脚，因而共有1402=70（只）头，从而多出了7050=20（只）头，这就是兔子的数目，鸡的只数就是5020=30（只）。解法四：兔有4只脚，而鸡有2只脚，不过鸡有2只翅膀，如果把翅膀也当作脚，则鸡、兔都有4只脚，于是脚有504=200（只），但题中翅膀不算脚，因而有翅膀200140=60（只），每只鸡有两只翅膀，则鸡数为602=30（只），兔有5030=20（只）。解法五：农夫惊讶地看到鸡、兔们非凡的表演：每只鸡都用一只脚站立着，每只兔都用两只后腿站立起来。这种情况下，地上的总腿数是原来的
5、一半，即70只腿，鸡的脚数与头数相同，而兔的脚数是头数的两倍，因此从70里减去总的头数，剩下来的就是兔的头数：7050=20（只），即有20只兔，那么有鸡30只。解法六：我们还可以想像鸡、兔们经过专门训练后具有一些“特殊技能”，当它们听到哨音后，鸡飞起来，兔立即双脚站立起来。这时立在地上的应该都是兔，它的脚数：140502=40（只）。因此有免：402=20（只），鸡有：5020=30（只）。例2现有2分和5分的硬币共40枚，共值125分，问两种硬币各多少放？思路剖析利用假设法，假设40枚硬币全是2分的，则面值为80分，与实际相比减少了12580=45（分），是由于把每个5分硬币少算了52=3
6、（分）造成的，则可知有5分硬币453=15（枚）。解答设全为2分的，则共值240=80（分）与实际相比少12580=45（分）由于假设造成的差值52=3（分）则有5分硬币453=15（枚），2分硬币4015=25（枚）。答：有5分硬币15枚，2分硬币25枚。点津由假设造成的与实际的差值45分，是与把5分硬币当作2分硬币产生的差值相关的，而不是仅与5分硬币有关。例3某次的小学数学奥林匹克竞赛，共有20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣3分。小贝贝参加了这次竞赛，得了68分，问：小贝贝做对了几道题？思路剖析假设小贝贝20道题全做对了，他应该得205=100（分），比实际上多了1
7、0068=32（分），产生这一差异的原因是把做错或没做的题也算作做对的了，需要注意的是，做错或不做一题比做对一题应少得5+3=8（分），因此小贝贝做错或不做的题数：328=4（道）。解答20（52068）（5+3）=20328=204=16（道）答：小贝贝做对了16道题。点津由于做错和不做的题不但不得分，还要扣掉分数，那么与做对一道题相比，就不是简单相减的关系，而应该求和得出。类似于零上5与零下3相差是8，而不是2。例4农场工人上山植树造林，绿化祖国，晴天时每人每天植树20棵，雨天时每人每天植树12棵，工人张宁接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：张宁植树这些天共有几个雨天？思路剖析
8、题目中虽然没有问张宁工作了几天，但总共做了多少天是一个关键量，须先求出来。天数=总量平均数=11214=8（天）。要求有多少个雨天，可假设每天都是晴天，那么应植208=160（棵），与实际相比，多植160112=48（棵），是把雨天植树量当作20棵造成的，2012=8（棵）是实际植树量与假设的差值。因此有雨天：488=6（天）。解答20（11214）112（2012）=（160112）8=488=6（天）答：张宁植树这些天总共有6个雨天。例5“和尚分馒头”题，记载于我国明代算法统宗。现代文译文：大和尚与小和尚共100名，分配100个馒头，大和尚每位给3个，小和尚3个人给1个，问大、小和尚各有多
9、少人？思路剖析假设都是小和尚。因为小和尚3个人给1个馒头，分配100个馒头，应该有小和尚3l00=300（人），比实际多了300100=200（人）。是由于把大和尚看做小和尚造成的，由于大和尚每位给3个馒头，相当于给9位小和尚的量。由于假设出现的差值即为9l=8（人），那么大和尚的人数2208=25（人）。解答（3100100）（331）=（300100）8=2008=25（人）10025=75（人）答：大和尚有25人，小和尚有75人。点津本题中给出的条件“大和尚每位给3个，小和尚3个人给1个”，无法直接求出大、小和尚在人数或在馒头数上的差值，需通过条件中给出的比例关系求得。例6四年级某班有学
10、生68人，为了更好地学习，同学们自愿结成了14个学习小组。这些小组有的3人，有的5人，有的7人。而且3人组与5人组的组数相同。问三种学习小组各有几组？思路剖析前面的例题中，总体中的数量总是“非此即彼”只有两种，而本题中出现了3种，似乎有些复杂。但题目中有个很重要的条件“而且3人组与5人组的组数相同”，是否可以利用这个条件将此题也转化成我们熟悉的鸡兔同笼题呢？我们将“3人组与5人组组数相同”这个条件，转化为将他们组成4人组，那么组数应为这两组的组数和，因为4是3和5的平均数。那么分组情况可以看做是两类：4人组和7人组。假设都是4人组，那么应有人数：414=56（人），与实际人数的差值：6856=
11、12（人），由于假设出现的差值：74=3（人），则7人组的组数：123=4（组）。解答（68414）（74）=（6856）3=123=4（组）那么3人组与5人组的组数（144）2=5（组）答：学习小组中3人组和5人组各有5组，7人组有4组。例7有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿、两对翅膀，蝉6条腿、一对翅膀），问蜻蜒有多少只？思路剖析依照例6的思路，我们应当将三种昆虫分成两类，从而将题目转化成与鸡兔同笼结构相同的题。分析题中的已知条件，找到可以归成一类的突破口。三种昆虫有两种有翅膀，一种没翅膀，显然不能按此划分。三种昆虫都有腿，而且其中两种腿数
12、相同，与例6思路相同，将三种昆虫按腿数分成两类：8腿虫和6腿虫。假设18只昆虫都是8腿虫，则有腿818=144（条），与实际腿数的差值144118=26（条），由于假设造成的差值86=2（条），那么有6腿虫：262=13（只），知道了6腿虫的总数，就可以按翅膀对数再将它们分成两类：2对翅膀和1对翅膀。则又转化成一道鸡兔同笼结构的题目。假设13只昆虫都有2对翅膀，则有213=26（对），与实际翅膀数的差值2620=6（对），由于假设造成的差值21=1（对），那么蝉（一对翅膀）有：61=6（只）。解答（818118）（86）=（144118）2=262=13（只）6腿虫数（21320）（21）=（
13、2620）1=6（只）1对翅膀虫数136=7（只）2对翅膀虫数答：蜻蜓有7只。点津恰当地把多组事物根据其特点划分成两类，转化成鸡兔同笼结构的题目是解题的关键。当组数大于2时，有时需要在同一题中解决多于1次的鸡兔同笼结构的题目，才能求得最终结果。发散思维训练1动物园里有一群鸵鸟和大象，它们共有36只眼睛和52只脚，问鸵鸟和大象各有多少？2养殖场共养鸡、兔180只，已知鸡脚总数比兔脚总数多180只。问养的鸡、兔各多少只？3学校有象棋、跳棋共20副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供60个学生进行活动。问象棋与跳棋各有多少副？4鸡、兔共有脚140只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚160只。问
14、原有鸡、兔各几只？5老师教同学们练跳绳，若一次能连续跳8个，老师奖给同学4块巧克力；若跳不够8个，则退给老师2块。王芳同学一共练了10次，得到28块巧克力。问王芳有几次没跳够8个？6有6个谜语，让50人猜，共猜对了202个。已知每人至少猜对2个，且猜对2个的有5人，猜对4个的有9人，猜对3个和5个的人数一样多，那么，6个全猜对的有多少人？7现有大、小水桶共50个，每个大桶可装水6千克，每个小桶可装水3千克，大桶比小桶总共多装水30千克。问大、小桶各多少个？8小张是车工，平均每天车某种零件50个，每车好一个正品，可为企业创造财富14元，但车坏一个要损失96元。某天，他为企业创造了480元的财宝，这一天他车出的正品是多少个？9模拟考试已举行了24次，共出了试题426道，每次出的试题数不同，
