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1、数 学 建 模,数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。 勒内笛卡尔,第3章 微分方程模型,数学建模,人口模型,1,传染病模型,2,主要内容,捕鱼的持续收获模型,3,食饵-捕食者模型,4,第11讲 人口模型（I）,数学建模,数学建模,微分方程建模基本原则,（1）将实际问题研究的对象表述为时间t的连续函数x(t) （2）注意实际问题中描述导数的词，如，生物学、人口学中的“速率”、 “增长率”；放射性问题中的“衰变”；经济学中的 “边际”等。,数学建模,微分方程建模基本原则,（3）可按下面方法找到函数增量 在时间 满足的关系式。 找规律法 利用数学、力学、物理及化学等学科定律，实践，实验检验的规
2、律，对问题直接列出微分方程； 模拟近似法 在生物、经济等学科中，许多现象表现复杂，且满足的规律并不清楚，但都可以遵循下面的变化模式 增量输入量输出量,数学建模,微分方程建模基本原则,（4）建立微分方程 （5）确定初始或边界条件： 方程在某一特定时刻或边界上的信息 （6）求解微分方程，可以给出解析解，数值解，或解的定性描述。,独立于微分方程 为了完整表述问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起给出，共同构成模型。,数学建模,人口模型,指数增长模型,人口增长模型,逻辑斯谛增长模型,再续酵母培养物的增长模型,数学建模,人口模型,问题提出 人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的
3、同时，世界人口也以空前的规模增长。测算在未来某个时间的人口规模、水平和趋势，可为社会经济发展规划提供重要信息。统计数据显示，世界人口每增加10个亿的时间已由100年缩短为十几年，如下表所示。,数学建模,建立数学模型来预测人口的增长趋势。,世界人口增长概况,人口模型,指数增长模型 英国神父Malthus在分析了十八世纪以前一百多年人口统计资料的基础上，只考虑人口增长与出生、死亡数量有关，不受其它因素的影响，建立了人口增长的指数模型。,数学建模,一、指数增长模型,模型假设 1）忽略人口的迁入与迁出，年龄和性别，时段 内人口数的变化依赖这段时间内人口出生数，死亡数。 时段 内的出生人数 时段 内的死亡人数,数学建模,b: 出生率 d: 死亡率 N(t): t时刻人口数,一、指数增长模型,数学建模,模型建立,改变量输入量输出量,相对增长率,一、指数增长模型,数学建模,模型检验 在人口指数增长模型提出后，人们发现十九世纪以前欧洲某些地区人口情况与指数增长模型比较相符。 但此后几年发展情况则相差很大。 如美国的人口数如下表情况。,一、指数增长模型,数学建模,利用表中的数据,可求出人口的净增长率 与实际2000年美国人口偏离了8%。 预测2300年美国人口数量为552090亿。,显然超过了地球的能维持的最多人口的估计。从长远看这个模型不符合实际。,一、指数增长模型,Thank you,
