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1、,北京理工大学 第一学期 工科数学分析,第六节 常系数线性 非齐次微分方程,1 2 3,特殊类型的 变系数线性微分方程,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,一、 型,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,2019/6/20,例1.,的一个特解.,解：本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,故设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例2,2019/6/20,例3
2、求解,解：,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,对应齐次方程通解为,故原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次 线性微分方程.,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例4,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例5,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）,注意,34-17,2019/6/20,例6,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数，得,因此特解为,代入得,通解为,为特征方程的单根 ,故设非齐次方程特解,2019/6/20,例7,解:
3、 (1) 特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,构造下列微分方程的特解形式：,解,对应齐次线性方程通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例8,三、小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,2019/6/20,思考题. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.,一、欧拉方程,特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的次方数相同,作变量变换,将自变量换为,用微分算子,表示对自变量,求导的运算,上述结果可以写为,一般地，,例,求欧拉方程,的通解,解,作变量变换,原方程化为,即,或,(1),方程(1)所对应的齐次方程为,其特征方程,特征方程的根为,所以齐次方程的通解为,设特解为,代入原方程，得,所给欧拉方程的通解为,二、小结,欧拉方程解法思路,变系数的线性微分方程,常系数的线性微分方程,变量代换,注意：欧拉方程的形式,
