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1、第9章 信号处理中的若干典型算法,9.1 信号的抽取与插值 9.2 信号的子带分解及滤波器组 9.3 窄带信号及调制与解调 9.4 逆系统、反卷积及系统辨识 9.5 奇异值分解 9.6 独立分量分析 9.7 同态滤波及复倒谱,9.1 信号的抽取与插值,前言：关于抽样率转换问题 （一）为什么要作抽样率转换？,1. 信号原来的抽样频率不合适 如抽样频率过高，数据量太大,因此存储 量大；计算负担重，传输时需要大的带宽。,2. 实际的数字系统中，不同的处理环节需要 不同的抽样频率,例如：在音频世界，就存在着多种抽样频率。得到立体声信号（Studio work）所用的抽样频率是48kHz，CD产品用的抽
2、样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz。 同一首音乐，从录音、制作成CD唱盘到数字音频广播，抽样频率要多次变化。,再例如：当需要将数字信号在两个或多个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换。,3. 信号多分辨率的需要 根据信号频率成分的分布，将一个信号分解成低频信号和高频信号，或分解成多带信号（如M个带），分解后的信号带宽减少M倍，所以抽样频率可减少M倍。,多抽样频率下信号的处理称为 “多抽样率信号处理” Multirate Signal Processing,（二）、如何实现抽样率的转换,？,3. 基于原数字信号，用信号处理的 方法实
3、现抽样率转换。,1. 对原来的模拟信号重新抽样；,（三）、多抽样率信号处理的内容,信号的抽取(Decimation); 信号的插值（Interpolation); 抽取与插值的实现、多相结构、多抽样率系统； 两通道滤波器组，分析与综合； M通道滤波器组，分析与综合； 多抽样率信号处理的应用。,一、 信号的抽取,Down-Sampler,最简单的方法是将 中每 个点 中抽取一个，依次组成一个新的序列，即,抽样频率减少 倍,？,要找到抽取前后， 和 的时域、 频域关系。对于抽取，要通过中间序列,现证明如 右的关系：,证明：,？,的抽样率仍为,令：,的抽样率是,现在的任务是: 1. 找到 和 的时域
4、与频域的关系; 2. 找到 和 的时域与频域的关系; 3. 找到 和 的时域与频域的关系;,令,关键是 和 的关系：,为一脉冲序列，其抽样频率也为,正确,周期序列展为傅里叶级数,所以：,又因为：,最后：,信号抽取前后频域的关系,如何理解,？,令：,将信号 作 的抽取，得,目的：将抽样频率降低 倍；,原则： 应保留 中的全部信息；,措施： 的一个周期应等于 的一个周期；,结论：,：抽取的结果不会发生频谱的混迭,由于 是可变的，所以很难要求在不同的 下 都能保证,结果：出现了频谱的混迭，如：,抽取后频谱的混迭,解决的办法：在抽取前加反混迭滤波器，去除 中 的成分。虽然牺牲了一部分高频内 容，但总比
5、混迭失真好。,加上频带为（ ）的低通滤波器后，可以避免抽取后频谱的混迭,二、信号的插值,最简单的方法是将 每两个点之间补L-1个零。,Up-Sampler,必须去除！,坐标轴的又一种标注法,去除镜像的目的实质上是解决所插值的为零的点的问题。方法：滤波,三、抽取与插值相结合的抽样率转换,分数倍抽样率转换：,CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz。如何转换？,先 倍插值，再 的抽取,合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取,因为两个滤波器工作在同样的抽样频率下，所以可将它们合并成一个,单独抽取和单独插值时时域关系的结合,例,如何计算？,包含很多乘以零的运算，实际上是不需要
6、的,法1,由 求 ，每两个点只要一个，即,白计算了,所以，在抽取与插值中，一定会有高效的计算方法，原则是：,插值时，乘以零的运算不要做； 抽取前，要舍弃的点就不要再计算。,的又一种表示形式：,法2,例,考查一个多抽样率系统是如何工作的,四、抽取和插值的滤波器实现,假定：,分析一下和滤波器系数相乘的输入数据：,与 相乘的滤波器系数：,与 相乘的滤波器系数：,与 相乘的滤波器系数：,可把滤波器的系数分成 组， 每组 个系数,令,作 L3 倍的插值； 作 M4 倍的抽取； 作 L/M=3/4 倍的抽样率转换。,作为作业： 请编程实现该题的要求，并给出类似下页的图形,9.2 信号的子带分解及 滤波器组
7、的基本概念,将信号的频谱均匀或非均匀地分解成若干部分，每一个部分都对应一个时间信号，我们称它们为原信号的子带信号 。,对信号x(n)，我们欲将其传输，若用数字方 法，其传输过程包括数字化、量化、编码及 调制等步骤。若对该信号用抽样频率 fs 进行 抽样，每一个抽样数据为 16bit，那么其1秒数 据所需要的bit数是 16fs。,例,能否保证在传输 信号不失真的情况下，减少所用的bit数？,我们发现x(n)的频谱主要中在归一化频率0.08及0.12处，而从0.250.5处的能量很小。,解决方法,分别用一个低通滤波器H0(z)和一个高通滤波器H1(z)进行滤波,由于： 的频带减小了一半； 所以：
8、可以在它们后面跟一个二抽取环节； 这时： 的抽样频率为,总的bit数,原来,滤波器组的基本概念,一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的相加后的输出,概念：,分析滤波器组,综合滤波器组,分析滤波器组 的作用： 将信号按频带分解，分解为低通、一系列带通和高通信号。按信号能量的分布，或按重要性，给以分别的处理。去除抽取时的混叠。,无混叠,有混叠,通道滤波器组,综合滤波器组 的作用： 去除插值后的镜像；实现真正的插值；重建原信号。,：由于每一个子带信号的频带降为原来的 ， 所以抽样频率可降低 倍；,：恢复原来的抽样频率，使重建后的信号和原 信号有相同的抽样频率。,又抽取又插值的作
9、用： 达到按信号能量分布给以不同处理的目的，如 编码； 抽取后的信号可能要传输很原才重建。,需要研究产生失真的原因：,对 失真的因素:,1. 混迭失真：抽样频率不满足,（1） 个滤波器如何设计？ （2）每一路的滤波如何计算？ （3） 如何保证PR?,2.幅度及相位失真： 滤波器组的频带在通 带内不“平”，而其相频特性不具有线性相 位所致 3. 编码,量化，传输所产生的误差,9.3 窄带信号及调制与解调,：低频，其最高频率远小于 待调制信号(modulating signal)或基带信号,：载波信号（carrier signal）,：调制信号(modulated signal),一、窄带信号,：
10、频谱的中心在 ； 有效带宽,幅度调制说明,窄带信号多是幅度 调制信号，如：,3. 解析信号表示,则,结论：窄带信号 的频谱可由其复数包络的频谱作移位而得到。 或：窄带信号可由一个低通信号来表示。,二、信号的调制与解调,信号为什么要调制,？,要传输的是语音、图像和数据，它们都是低频信号。这样的信号如直接通过信道传输，将会产生严重的衰减，且易受噪声的干扰。,调幅（AM）,双边带调制的带宽是单边带调制的2倍,调相（PM）,调频（FM）,令,则,频率调制后的信号,待调制信号,PM、FM统称角度调制，为非线性调制，特点是传输的带宽大，抗噪性能好。应用于高保真广播。,给定一低频正弦信号，可用modulat
11、e.m文件实现其不同形式的调制。结果如图。,例,FM,PM,Amdsb-sc,Amdsb-tc,Amssb,Amdsb：双边带； Amssb单边带,信号的解调（Demodulation),对幅度调制，其过程即是“包络检测”，使用的方法即是通过 Hilbert变换，求出解析信号，然后将频谱移位，得到低通包络信号。,窄带信号的抽样：,若：,， 太大了！,窄带信号抽样定理,9.4 逆系统、反卷积及系统辨识,心电逆问题，脑电逆问题,若 ， 已知，求 ，逆问题；,矿物勘探、地球物理 等领域,由输出求输出和系统这两种情况都要用到“逆系统”和“反卷积”的概念：,1. 若系统输入、输出已知，希望求系统,调整
12、的参数，使 接近等于 ，则,2. 若系统输入未知，输出已知，希望求系统,调整 的参数，使 接近等于 ，则,若系统输出已知，再知道输入或系统，欲 求另一个，可采用反卷积的方法：,依次递推,系统辨识从频域求解：,9.5 奇异值分解,正交阵,对角阵,正交阵,几点结论和说明：,所以， 是 的左奇异向量,所以， 是 的右奇异向量,4.,矩阵 可看作奇异向量做外积后的加权和，权重即是非零的奇异值，即,关系：,， 的列向量也按此排序,7.,排序,8.,伪逆（pseudo-inverse）,方程数大于未知数:超定(overdetermined)方程组； 方程数小于未知数:欠定(underdetermined)
13、方程组,在超定和欠定两种情况下，方程的解可表为：,超定( )：,欠定( )：,解的性质：,所以，由伪逆给出的解是最小平方（二乘）解，其求解算法可以用奇异值分解来实现。,SVD在信号处理中的应用：反卷积、信号的最小平方估计、噪声去除、ARMA模型求解及参数模型阶次的估计等。,例,信号去噪,矩阵 的奇异值 可以反映信号和噪声能量集中的情况。如果将它们按照递减的顺序排列起来，即 那么，前 个较大的奇异值将主要反映信号，较小的奇异值 则主要反映噪声，把这部分反映噪声的奇异值置零，就可以去除信号中的噪声。这就是利用SVD去除噪声的基本原理。对一维信号，关键是如何形成矩阵 。,方法1：,方法2：,9.6
14、独立分量分析简介,独立分量分析（independent component analysis，ICA）是近年来由信源盲分解（blind source separation, BSS）技术发展起来的多通道信号处理方法。,如何由头皮脑电信号反演来求出皮层内的脑电信号？这是一个典型的反卷积问题，也是一个典型的信源盲分解问题，极具挑战性的课题。,高分辨脑电,脑电,核磁图像,3维模型,剖分,脑电,核磁图像,ICA模型,是混合矩阵，将 个 变为 个 ，它可以看作是从皮层通过颅骨到头皮的路径（系统）。,我们的任务是由观察信号 求出源信号 ， 设想我们可以构造出一个解混合的矩阵 。,混合矩阵,（3）源信号 的
15、各分量最多只能有一个是高斯信 号。因为高斯信号的线性组合仍然是高斯 的，两个以上高斯信号的解混问题是病态的。,在ICA中，有两大类问题需要解决：一是如何判断解混后的信号的各分量之间是相互独立的，二是如何发展一套算法使混合信号通过解混运算后实现相互独立。,（2）源信号 的分量个数 小于观察信号 分 量的个数 。也就是说，由 个观察信号最 多只能分解出 个源信号分量。,衡量一组信号是否接近于相互独立，需要优化判据。判据有：代价函数极小化判据、互信息极小化判据、输出熵极大化判据以及极大似然估计判据等。,ICA的基本思路是选择上述某一种独立性判据，构造一个多通道随机信号的目标函数，通过合适的优化算法来调节解混矩阵从而使目标函数达到最大化或最小化。两大类：批处理算法；自适应处理算法。前者包括成对旋转法、改进的成对旋转法及固定点算法等；后者包括随机梯度法（Infomax算法）、自然梯度及相对梯度法（
