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1、还原问题,解渊,同学们，我们先来玩一个游戏.,你心里想一个自然数（不要告诉任何人），你把这个数加上3，再乘以5，然后减去你想的这个数，然后再加上5，再除以2，最后减去10.好了，告诉我最后得的结果，我马上可以猜出你想的数是多少.你信不信？,一定会有同学说，这个游戏我也会玩，我反过来算就可以知道你心里想的是什么数.比如你最后的结果是10，我就将10先加10，再乘以2，再减去5，再. 哦，再怎么办？不好办了吧. 其实这个游戏计算程序是事先设计好了的，最后的结果总是你所想的数的2倍，比如你想的数是7，按设计程序计算，最后结果一定是14. 我们把算式写一下： （7+3）5-7+52-10=（50-7+
2、5）2-10=482-10=14. 因此只要告诉我最后结果，我一定知道你心里想的是什么数.,不过刚才那个方法也是解下面一类问题常用的方法. 某数经过一系列的四则运算后，结果知道，要求这个数. 我们就采用反推的方法，从结果开始，原来是加，现在就减；原来是乘，现在就除，最后一定可以求出这个数.,这样一类问题，我们称之为还原问题.,典型例题1：,1、某数加7，乘以5，再减去9，得51，求这个数.,解：（51+9）5-7=605-7=12-7=5.,请同学们验证一下，按题目的运算顺序，看能否得到51.,典型例题2,做一道整数加法题时，小强把个位上的6看作9，把十位上的8看作3，结果得出和为123。为正
3、确的答案应该是多少？,解：把个位上的数6看作9 ，使和增加了96=3，把十位上的数8看作3，使和减少了8030=50，因此，这道题归结为：某数加3，减50，得123，问某数是几？要求某数，采用倒推法：也就是123加上50，减去3 。即123503=170。,正确的答案应该是170。,典型例题3：,某人去储蓄所取款，第一次取了存款数的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，最后剩125元。他原有存款多少元？,解：第一次取款后还剩钱数： （12510）2=270（元） 他原有存款数： （2705）2=550（元）,答：他原有存款550元。,典型例题4：,在做一道加法题时，小胖把个位上的5看成
4、9，把十位上的8看成了3，结果得到123，问正确答案应该是多少？,分析：由于小胖粗心看错了题，得到错误的结果，可以利用还原的方法去求出正确的答案.,解：小胖把个位上的5看成9，多加了4，因此要减去4；他把十位上的8看成了3，少加了50，所以应当再加上50.,这样正确的答案应该是： 123-4+50=169.,典型例题5：,有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？,分析：这个问题是由（446）3104，求出。我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是41014；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14342；可知这个数乘以4后的积为
5、424688，因此这个数是884=22。,解：（410）346422。,例6,学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？,分析： 先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。 学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36（21）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12224（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-618（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有 18102
6、8（棵）。,解：365（12）2-610=28（棵）,例7,植树节学校要栽102棵树苗，小强和小明两人争着去栽，小强先拿了若干树苗， 小明见小强拿得太多，就抢了10棵，小强不肯，又从小明那里抢回来6棵，这时小强拿的棵数是小明的2倍。问：最初小强拿了多少棵树苗？,分析：先求小强和小明现在拿了多少棵树苗。学校共有树苗102棵，小强拿的树苗是小明的2倍，所以小明现在拿了102（21）=34（颗），而小强先在拿了342=68（棵）树苗，小强从小名那里抢回来6棵后是68棵，如果不抢，那么小强有树苗686=62（棵），小明看小强拿得太多，抢了10棵，如果小明不抢，那么小强就有6210=72（棵）。,解：1
7、02（12）610=72（棵）,例8,甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？,分析与解：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90330（本）。根据题目条件，原来各组的图书为 甲组有30333（本）， 乙组有303532（本）， 丙组有30525（本）。,例9,将8个数从左至右排成一行，从第三个数开始，每个数都恰好等于前面两个数之和。如果第七个数和第八个数分别是81和131，那么第一个数是多少？,解：已知第七个数是81，
8、第八个数是131，根据“每个数都恰好等于前面两个数之和”这一规律，可知第六个数81（第七个数）=131（第八个数），可求第六个数等于13181=50。同理：第五个数50（第六个数）=81（第七个数），可以求出第五个数等于8150=31。 第四个数：5031=19 第三个数：3119=12 第二个数：1912=7 第一个数：；127=5,答：第一个数是5。,例10,一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？,分析：由逆推法知，第二次用完还剩下157=22（米），第一次用完还剩下（2210）224（米），原来电线长（24
9、3）254（米）。,解：（15710）23254（米）。,例11,有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？,分析与解： 棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚。逆推得到 第三次分之前有1415（枚）， 第二次分之前有51121（枚）， 第一次分之前有214185（枚）。,所以原来至少有85枚棋子。,例12,甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多;接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多;最
10、后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元?,分析：三人最后一样多，所以都是813=27元，然后我们开始还原：(1)甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是273=9，丙是81-9-9=63;(2) 甲和丙把钱还给乙：甲93=3，丙633=21，乙81-3-21=57;(3) 最后是乙和丙把钱还给甲：乙573=19，丙213=7，甲81-19-7=55元.,例13,三（1）班小图书箱第一天借出了存书的一半，第2天又借出43本，还剩32本。小图书箱原有图书多少本？,分析：经过两天借
11、出图书，小图书最后还剩32本书。由此可以往前推算：第2天没借出43本前（也就是第1天借出图书后），应有（3243）本书，再根据“第1天借出了存书的一半”，可推算出这75本书也就是第1天借出后的另一半，即相当于第1天借出的本数。这样，小图书箱原有的图书本数可求得。,解: 第1天借书后还剩的本数：324375（本） 原有图书的本数：752150（本） 综合算式：（3243）2150（本）,例14,仓库里有一批大米。第一天售出的重量比总数的一半少12吨。第二天售出的重量比剩下的一半少12吨，结果还剩下19吨。这个仓库原有大米多少吨？,分析：如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是（1912）吨。第一天售
12、出以后剩下的吨数是（1912）2吨。以下类推。,解 （1912）262 （吨） （6212）2100（吨）,例15,有一堆西瓜第一次搬走一半，第二次搬走剩下的一半多3个，第三次搬走剩下的一半少3个，第四次搬走剩下的一半多3个，第五次搬走剩下的一半，最后还剩3个，这堆西瓜原有多少个？,解：这道题我们可以从最后还剩下的3个出发，逐步向前推算，第五次搬之前、第四次搬之前直到第一次搬之前，还原到原有数。 第五次搬走前：32=69(个)，第四次搬走前：（63）2=18(个)，第三次搬走前：（183）2=30（个），第二次搬走前：（303）2=66（个），第一次搬走前：662=132（个）。,答：这堆西瓜
13、原有132个。,例16,甲、乙两个港口各停有小船若干只，如果按下面的办法移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只，第二次从乙港开出和甲港同样多的船只，那么照这样四次后，甲、乙两港所停的船只数都是48只，求甲、乙两港原来各停有多少只小船？,解：这道题可以从结果甲乙两港都是各停有小船48只出发，倒推分别求出第四次前、第三次潜、第二次前、第一次前各有多少只。 第四次前甲港：482=24（只）； 乙港：2448=72（只）。 第三次前甲港：2436=6（只）； 乙港：722=36（只）。 第二次前甲港：602=30（只）； 乙港：3630=66（只）。 第一次前甲港：3033=63（只）； 乙港：
14、662=33（只）。,答：甲港原来停有63只小船；乙港原来停有33只小船。,例17,甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本，甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁，使他们的书增加1倍，然后，乙又拿出一部分故事书使甲、乙、丙的书增加1倍，然后，丙又拿出一部分故事书使得甲、乙、丁的书增加1倍，最后，丁也拿出一部分故事书使得甲、乙、丙的书增加1倍时，甲、乙、丙、丁手中都有32本书。甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书？,解析：我们还是采取倒推的方法。从最后一次丁分书以后开始考虑。 由于丁拿出一部分书给甲、乙、丙后，甲、乙、丙的书各自增加了1倍，都是32本，说明在此之前，甲、乙、丙手中的书都为：322=16（
15、本），丁手中的书应为：32163=80（本）。同样可推出在丙拿出书之前，甲、乙、丁手中的书分别为8本、8本、40本，此时丙手中的书应为：168840=72（本）。继续推下去，就可以推出原来四人手中各有的书。,解：根据题意，可列表求解：,答：甲、乙、丙、丁原来各有书66本、34本、18本、10本。,例18,某商场周日出售液晶电视机。上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多15台，还剩40台。商场这天原有液晶电视机多少台？,解析：从“下午售出剩下的一半多15台”和“还剩下40台”向前倒推。40台和下午多卖的15台合起来，即4015=55（台）（如图），正好是上午售出后剩下的一半，那么552=110（台）就是上午售后剩下的台数，而110台和10台合起来，即11010=120（台），又正好是总数的一半，那么1202=240（台），就是原来液晶电视机的台数。,10台 15台 40台,上午售出 下午售出 还剩 【（4015）210】2=240（台）,答：商场这天原有液晶电视机240台。,
