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1、1,第二章 插 值 法 1 引言,问题的提出 在实际问题中常遇到这样的函数 ,其在某个区间 上是存在的。但是,通过观察测量或试验只能得到在 区间上有限个离散点 上的函数值 或者 的函数表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算,希望用一个简单的函数来描述它。,2,插值问题的数学提法: 已知函数 在n+1个点 上的函数值 , 求一个多项 式 ,使其满足 。 即要求该多项式的函数曲线要经过 上 已知的这n+1个点 同时在 其它点 上估计误差为 。,3,4,5,2.拉格朗日插值公式,2-1插值多项式的存在唯一性 过n+1个点 ，作多项式函数 可构造(n+1)(n+1)线性方程组确定参数 要证明插值多项式
2、存在唯一，只要证明参数存在且唯 一，即只要证明其系数行列式不为零即可。,6,系数行列式为： 此为范德蒙行列式。利用行列式性质可得 由于 时 ，故所有因子 ，于是 。 即插值多项式存在唯一。,7,2-2线性插值与抛物线插值,一、线性插值（一次插值） 1.问题的提出 已知函数 在区间的端点 上 的函数值 ，求一个一次 函数 使得 。,8,其几何意义是已知平面上两点 求一条直线过该已知两点。,9,2.插值函数和插值基函数 由直线的点斜式公式可知： 把此式按照 和 写成两项： (两点式）， 记 并称它们为一次插值基函数。,10,该基函数的特点如下表： 从而 ,此形式称之为 拉格朗日型插值多项式。其中,
3、插值基函数与 无关，而由插值结点 所决定。 一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的 组合系数是该点的函数值 。,11,二、二次插值多项式(抛物线插值) 1.问题的提出 已知函数 在点 上的函 数值 求一个次数不超过二次的多项式 ,使 其满足,12,其几何意义为:已知平面上的三个点， 。 求一个二次抛物线,使得 该抛物线经过这三点。,13,2.插值基本多项式（构造插值基函数） 有三个插值结点 ,构造三个插值基本多项式，要求满足： (1)基本多项式为二次多项式； (2)它们的函数值满足下表：,14,因为 , 故 有因 子 ,而其已经是一个二次多项式, 仅相差一个常数倍,可设 又因为 ，故 得
4、： 同理,15,3.拉格朗日型二次插值多项式 由前述，拉格朗日型二次插值多项式 是三个 二次插值基函数多项式的线性组合,因而其 是次数不超过二次的多项式,且满足,16,三、拉格朗日型n次插值多项式 问题的提出： 已知函数 在n+1个不同的点上 的函数值分别为 , 求一个次数不超过n的多项式 ,使其满 足 即n+1个不同的点 可以唯一决定一个n次多项式。,17,2. 插值基函数 过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值 基函数 每个插值基本多项式 满足： (1). 是n次多项式; (2). ，而在其它n个点 。,18,由于 ，故 有因子 因其已经是n次多项式，故仅相差一个常数因子。 令: 由
5、可以定出 ，进而得到：,19,3.n次拉格朗日型插值多项式 是n+1个n次插值基本多项式 的线性组合，相应的组合系数是 。 即 是一个次数不超过n的多项式,且满足,20,例求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式。 解：对5个点插值构造4次插值多项式。,21,所以,22,四、拉格朗日插值多项式的截断误差,在a,b上用多项式 来近似代替函数f(x), 其截断误差记作,23,下面来估计截断误差 ： 定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y=f(n)(x)在a,b 上连续，y=f(n+1)(x)在(a,b)上存在；插值节点为 ax0x1xnb, 是n次拉格朗日插值多 项式；则对任意xa,b有： 其中(a,b),依赖于x；,24,25,26,27,28,29,
