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1、第四章 数值积分,4.0 引言 我们知道,若函数f(x)在区间a,b上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式,求得定积分,求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式 无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：,(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如： Newton-Leibnitz公式就无能为力了,(2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示， 但表达式太复杂，例如函数,并不复
2、杂， 但积分后其表达式却很复杂, 积分后其原函数F(x)为：,(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示。 对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见, 通过原函数来计算积分有它的局限性, 因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题, 这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。 将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。,4.1 数值积分概述 4.1.1 数值积分的基本思想 积
3、分值 在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如图4-1所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x),图4-1 数值积分的几何意义,建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的有两种： （1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间a,b内存在一点，使得 即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 的矩形面积。但是点的具体位置一般是未知的, 因而 的值也是未知的, 称 为f(x) 在区间a,b上的平均高度。那么只要对平均高度 提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法,三个求积分公式, 梯形公式,y=f(x),
4、y,x,a,b,y=f(x),a,b,y,x,(a+b)/2, 中矩形公式,按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如 分别取 和,则分别得到中矩形公式和梯形公式。,y=f(x),a,b,a,b,y=f(x),y,a,b, Simpson公式,(a+b)/2,f()的近似值而获得的一种数值积分方法。 中矩形公式把a,b 的中点处函数值 作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分方法。,a,b,(a+b)/2,在这三个公式中, 梯形公式把f(a), f(b)的加权平均值,作为平均高度,Simpson公式是以函数f(x)在a, b, (a+b)/2这三点的函数值f(a), f(b),
5、的加权平均值 似值而获得的一种数值积分方法。,作为平均高度f()的近,（2）先用某个简单函数 近似逼近f(x), 用 代替原被积函数f(x)，即,以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数 应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分,因此将 选取为插值多项式, 这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替,4.1.2 插值求积公式 设已知f(x)在节点 有函数值 ,作n次拉格朗日插值多项式,式中,这里,多项式P(x)易于求积,所以可取 作为 的近似值，即,其中,称为求积系数。给出如下定义。,定义4.1 求积公式,其系数 时，则
6、称求积公式为插值 求积公式。,(4.1),设插值求积公式的余项为 ,由插值余项定理得,其中,当f(x)是次数不高于n的多项式时，有 =0,求积公式(4.1)能成为准确的等式。由于闭区间a,b上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。,定义 （代数精度） 设求积公式（4.1）对于一 切次数小于等于m的多项式(,是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度）,由定义可知，若求积公式（4.1）的代数精度为n，则求积系数 应满足线性方程组：,或,),这是关于
7、的线性方程组，其系数矩阵,是范得蒙矩阵, 当 互异时非奇异, 故 有唯一解。,定理4.1 n+1个节点的求积公式 为插值型求积公式的充要条件是公式 至少具有n次代数精度。,证:必要性 设n+1个节点的求积公式 为插值型求积公式,求积系数为 又 当f(x)为不高于n次的多项式时, f(x)=P(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少 具有n次代数精度。 充分性 若求积公式至少具有n次代数精度,则对 n次多项式,必要性： 若求积公式至少具有n次代数精度, 则对n次多项式,精确成立,即,而,取 时,所以有 ,即求积公式为插值型求积公式,例4.1 设积分区间a, b为0, 2，取时 时, 分别
8、用梯形和辛卜生公式,计算其积分结果并与准确值进行比较 解:梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比 较如下表所示,f(x) 1 x x2 x3 x4 ex 准确值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 梯形公式计算值 2 2 4 8 16 8.389 辛卜生公式计算值 2 2 2.67 4 6.67 6.421,从表中可以看出,当f(x)是 时,辛卜生公式比梯形公式更精确,一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式和中矩形公式具有1次代数精度，辛卜生公式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证,取f(x)=1时，,两端相等,取f(x)=x时,取f(x)=x2 时,两端不相等,所以梯形
9、公式只有1次代数精度。,两端相等,例4.2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式,解: 要使公式具有2次代数精度,则对f(x)=1,x,x2 求积公式准确成立，即得如下方程组。,解之得，,所求公式为：,例4.3 试确定求积系数A,B,C 使 具有最高的代数精度 解:分别取f(x)=1,x,x2 使求积公式准确成立,即 得如下方程组。,所得求积公式为：,对于f(x)=1,x,x2,x3都准确成立,对于f(x)=x4 就不准确了，所以此求积公式 3 次代数精度。,由于n+1节点的插值求积公式至少有n次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如 插值求积公式,有三个节点至少有
10、2次代数精度，是否有3次代数精度呢？将f(x)=x2代入公式两端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再将f(x)=x4代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有3次代数精度。,的代数精度 可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等, 再将f(x)=x2代入公式 左端,例4.4 考察求积公式,两端不相等, 所以该求积公式具有 1 次代数精度. 三个节点不一定具有2次代数精度， 因为不是插值型的,右端,例4.5 给定求积公式如下：,试证此求积公式是插值型的求积公式,证:设 ,则以这三点为插值节点的 Lagrange插值基函数为,由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是
11、插值型求积公式。,插值型求积公式为,例4.6 求证,不是插值型的,证明: 设 x0 = -1, x1 =0, x2 =1, A0 =1/2, A1=1, A2=1/2 则以这三点为插值节点的Lagrange插值 基函数为,例4.7 给定求积公式,试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度,解：令求积公式对f(x)=1, x, x2准确成立，则有,解之得,其代数精度至少为2,将f(x)=x3代入求积公式两端相等,而将将f(x)=x4代入求积公式两端不相等,所以其代数精度为3次,例 4.8 确定求积公式,使其具有尽可能高的代数精度,解：不妨设a=0, b=h
12、, b-a=h, 设所求公式的代数 精度为2,则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式,即,解：不妨设a=0, b=h, b-a=h, 设所求公式的代数 精度为2,则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式,即,其中h=b-a, 令f(x)=x3代入上式, 两端不等, 说明求积公式只有2次代数精度。,解之得：,构造插值求积公式有如下特点： 复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分 求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak的值 n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度 求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性,例 4.9 求
13、证当节点为n+1个时, 插值求积系数之和为,(1) 在积分区间a,b上选取节点xk (2) 求出f(xk)及利用 或解关于Ak的线性方程组求出Ak，这样 就得到了,(3) 利用f(x)=xn,验算代数精度,构造插值求积公式的步骤,例4.10 对 构造一个至少有3次代数精度 的求积公式,解: 3次代数精度需4个节点, 在0,3上取0,1,2,3四个 节点构造求积公式,确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式,因为求积公式有4个节点，所以至少具有3次代数精度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有3次代数精度,4.1.5、求积公式的收敛性
14、和稳定性,4.2 牛顿柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 在插值求积公式,中,当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式 其中 插值多项式 求积系数,这里 是插值基函数。即有,将积分区间a,b 划分为n等分, 步长 求积节点为 为了计 算系数Ak, 由于 , 所以,作变量代换 当 时,有 ,于是可得,( k=0,1,n ),代入插值求积公式(4.1)有,称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数,引进记号,( k=0,1,n ),则,容易验证,显然, Ck是不依赖于积分区间a,b以及被积函数f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数,譬如当n=1时,当n=2时,从n从18的柯特斯系数得出当n = 8时，出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。,Newton-Cotes公式,柯特斯系数,下面分别考虑几种特殊请况。,几个低阶求积公式 在牛顿-柯特斯求积
