微积分应用基础电子教案云连英01课件

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1、习题课,第一节 函 数,第二节 函数的极限,第三节 函数的连续性,第四节 用Matlab作函数图像、求极限,主要内容 函数的定义、确定函数的两个要素、函数的表示法、分段函数；函数的几种特性；基本初等函数的定义、图象和性质；复合函数；初等函数。,教学要求 1.理解一元函数与二元函数的概念,掌握确定函数的两个要素（定义域、对应法则）,会求函数的定义域； 2.掌握函数的表示法(解析法、表格法、图像法)及分段函数；,第一节 函 数,3.熟练掌握基本初等函数(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的表达式、定义域、值域、图形和函数的几种特性(单调性、有界性、奇偶性和周期性)； 4.

2、知道复合函数的概念，会正确地分析复合函数的复合过程； 5.理解初等函数的概念，能区分基本初等函数与初等函数； 6.具有对简单实际问题建立相应函数关系的能力。,教学重点 函数的概念；函数定义域的求法；函数的奇偶性；分段函数；复合函数的分解；基本初等函数及其图形。,1.1.1 函数的概念 一、复习高中已学过的函数的定义 引例1【汽车租赁】 一汽车租赁公司出租某种汽车的收费标准为每天的基本租金200元加每公里收费15元租用一辆该种汽车一天，行车x 公里时的租车费 y =（200 + 15 x）元 (1.1) 在（1.1）式中，x的取值范围是数集D = xx0，对每一个 ，按（1.1）式所示规则，都有

3、唯一确定的y与之对应。,引例2【电压波】 考察脉冲发生器所产生的一个单三角脉冲电压波（图1-1），其电压U（伏）与时间t（微秒）之间的关系为：,当t时，U = 0 这一波形的数学表达式可统一为,（1.2）,在（1.2）式中，t 的取值范围是数集D =t|0 t+ ，对于每一个tD ，按（1.2）所示规则，都有唯一确定的U与之对应。 引例3【气温与时间的关系】 （1）某气象站用自动温度记录仪记下一昼夜气温变化（图1-2），由此图可知对于一昼夜内每一时刻t，都有唯一确定的温度T与之对应。,（2）为了方便游客在五一长假去北京旅游，下表给出了 2004年5月1日至5月7日北京每天的最高气温。,由上表可

4、知，对每一个tD = 1，2，3，4，5，6，7 ，都有唯一确定的T与之对应。,定义1 设D是一个数集，如果对于D中的每一个数x，按照某种对应规则f，都有唯一确定的数值y与之对应，那么y就称为定义在数集D上的x的函数，x称为自变量，记作y= f (x)，xD，数集D称为函数的定义域。 当x取定值 x0 时，与 x0 对应的 y 的数值称为函数在点x0 处的函数值，记作或 f (x0) ，当x 取遍D中的一切实数时，对应的函数值的集合称为函数的值域。 从函数的定义可知，函数的定义域和对应法则是确定函数的两个基本要素。一旦确定了对应法则和定义域，变量关系就确定了，至于变量用什么字母无关紧要。 函数

5、常用解析法（如引例1、引例2）、图象法（如引例3中（1）、表格法（如引例3中（2）来表示。,注意： (1) 引例2是用解析法表示的一个函数，但在其定义域的不同区间内，对应U的值是用不同的解析式来表示的，这种在其定义域的不同区间上用不同的解析式来表示的函数称为分段函数。在实际生活与工程实践中，这是一类常见函数。 (2) 在函数的定义中，并没有要求自变量变化时，其函数值一定要变，因此y = C (C为常数)也符合函数的定义，称y = C (C为常数)为常数函数。,例1 （1）求函数 的定义域 （2）函数 与 是否表示同一函数 （3）求函数 的定义域,解 （1）要使函数 有意义，必须,解得 ,于是定

6、义域为（1，5）,（2）因为,与 定义域相同，对应法则不同， 所以 与 不表示同一函数。,(3) 要使函数 有意义，必须,解得 1 x 2 + y 2 4,于是定义域为（x,y）1 x 2 + y 2 4 ,案例1【刹车问题】 已知汽车刹车后轮胎磨擦的痕迹长s ( m )与车速v ( km / h )的平方成正比，当车速为30 km / h时刹车，测得痕迹长为3 m ，求痕迹长s与车速v的函数关系。 解： 由题意可设 s= k v2 ， 由于当 v=30km / h时 ，s=3m ，所以3= k302， k= ，s= v2 ， 因此痕迹长s与车速v的函数关系为 s = v2 （v 0）。,案例

7、2【利润问题】 某商店将每件进价为180元的西服按每件280元销售时，每天只卖出10件，若每件售价降低m元，当m= 20 x(xN)时，其日销售量就增加15 x件，试写出日利润y与x的函数关系。 解 日利润 = 每件利润日销售量，而每件利润 = 现价 - 进价 = (280 20x) - 180 ,日销售量为10+15x，所以总利润 y= (280-20x-180)(10+15x) = 100(5-x)(2+3x)。 又由题意知，降价数只能是20元的整数倍，所以该函数的定义域为N。 因此日利润y与x的函数关系为y=100(5-x)(2+3x)，xN。,案例3【运费问题】 某工厂在甲、乙两地的两

8、个分厂各生产某种机床12台和6台。现销售给A地10台，B地8台.已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元。 (1)设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式； (2)若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？ 分析 甲、乙两地调运至A、B两地的机床台数及运费如下表：,解 (1)依题意得： 0x6,xZ，y=400(10-x)+80012-(10-x)+300x+500(6-x)， 即y=200(x+43)(0x6,xZ). (2)由y9000，解得x2. 由于xZ，0x6，所以x= 0,1,2. 因此共

9、有三种调运方案。,案例4【邮件资费】 我国2004年1月1日起执行的国内投寄外埠平信的邮件资费如下：首重100克内，每重20克（不足20克按20克计算）付邮资080元，续重101克2000克每重100克（不足100克按100克计算）付邮资2.00元那么投寄重x克（0 x 120）的外埠平信应付多少邮资？ 解 设投寄外埠平信邮资为y , 则,案例5【个人所得税】 “依法纳税是每个公民应尽的义务”，我国于1993年10月31日颁布的中华人民共和国个人所得税法中规定国家征收个人所得税是分段计算的：月收入不超过800元的，免征个人所得税；超过800元部分为应纳税所得额，税率如下：,如果某单位所有人的月

10、收入都不超过5000元， （1）试分别按照 1993年10月31日颁布的中华人民共和国个人所得税法及修改后的个人所得税法建立月收入x与纳税金额y之间的函数模型； （2）计算月收入为4000元者，将比以前少缴税多少元？ 解 （1 ）按照 1993年10月31日颁布的中华人民共和国个人所得税法来计算，有如下模型：,自1993年个人所得税法实施以来至今已十多年，其间中国政治经济形势发生了很大变化，国民生产总值持续、快速增长，城乡居民收入大幅度提高。1993年，就业者中，月收入在800元以上的仅为1左右，到2004年已升至60左右在职工工资收入提高的同时，职工家庭生活消费支出也呈上升趋势，2004年居

11、民消费价格指数比1993年提高了67，加之近几年教育。住房、医疗等改革的深入，居民消费支出明显增长，超过了现行个人所得税法规定的每月800元的费用扣除标准，导致职工消费支出不能在税前完全扣除，税负有所加重。为解决社会反映比较突出的个人所得税工薪所得费用扣除额偏低，居民生计费用扣除不足的问题，有必要修改个人所得税法的规定。为此十届全国人大常委会第十七次会议于2005年8月23日开始审议个人所得税法修正案草案，十届全国人大常委会第十八次会议于2005年10月27日通过关于修改个人所得税法的决定，将个人所得税起征点从800元调整为1600元，修改后的个人所得税法，只是对个人所得税的起征点进行调整，并

12、没有对税率进行调整。新的个税起征标准将于2006年1月1日起正式施行。,按照修改后的个人所得税法来计算，数学模型为：,（2）当月收入为4000元时，按照 1993年10月31日颁布的中华人民共和国个人所得税法来计算需缴税0.15（4000 2800）+ 175 = 355（元）；按照修改后的个人所得税法来计算需缴税0.15（4000 3600）+ 175 = 235（元）。因此月收入为4000元者，将比以前少缴税355 235 = 120（元）。,案例6【单位阶跃函数】 单位阶跃函数是电学中的一个常用函数，它可表示为,二、二元函数的定义 引例4【圆柱体的体积】 圆柱体的体积V和它的底面半径r及

13、高h之间的关系为 V=r2 h （1.3） 这里，V是随着r、h的变化而变化当r、h在一定范围内 (r0,h0) 取定一对数值(r ,h)时，按(1.3)所示规则,V都有唯一确定的值与之对应。 引例5【导线的电流】 在远距离输电过程中，通过导线的电流i 不仅与离导线的始端的距离x有关，而且随时间t 而变化。对某种理想的输电线有： i = i0 cosx sint (i0,为常数) , （1.4） 对于x,t的每一对值(x,t)(x,t)0 x +，0 t +,按（1.4）所示规则，i 都有唯一确定的值与之对应。,定义2 设有变量x、y、z，如果当变量x、y在一定范围内任意取定一对数值时，变量z

14、按照一定的法则，总有唯一确定的数值与之对应，则称z是x、y的二元函数，记作z=f (x,y)。 其中x、y 叫做自变量，函数z也叫因变量，x、y的变化范围叫做函数的定义域。,1.1.2 函数的几种特性 一、函数的奇偶性 若函数f (x)的定义域D关于原点对称，且对于任意的xD都有f(-x)= -f(x)，则称f（x）为奇函数；若函数f（x）的定义域D关于原点对称，且对于任意的xD都有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数如f (x) =x2是偶函数，f (x) = x3是奇函数，而f (x) = x2 - 2x + 1是非奇非偶函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。,

15、例2 判断下列函数的奇偶性 （1） （2）,解（1）定义域为关于原点对称 . 又,为偶函数.,（2）由 得：,函数定义域关于原点对称。 又,为奇函数。,二、函数的单调性 1.定义 如果函数y = f ( x ) 在区间（a, b）内随着x的增大而增大（或减少），即对于（a, b）内的任意两点x1及x2 ，当x1 f（x2）)，则称函数f（x）在区间（a, b）内是单调增加（或单调减少），区间（a, b）叫做函数f（x）的单调增加区间（或单调减少区间）。 单调增加区间与单调减少区间统称为单调区间。,2.图象特征 单调增函数，它的图象沿x轴正向而上升； 单调减函数，它的图象沿x轴正向而下降。 例如，由图1-3可知，函数 y = x2在区间（0，）内是单调增加，而在（-，0）内是单调减少，它在定义域（-，）内不是单调函数。,案例7【需求函数】 在经济学中，某一商品的需求量是指在一定的价格水平下，消费者愿意而且有支付能力购买的商品量。影响商品需求的因素很多，商品的价格是影响需求的一个主要因素，