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1、证明两角相等的方法黄冈中学 初三数学备课组【重点解读】证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。【相关定理或常见结论】1、相交线、平行线：（1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等；（4）凡直角都相等；（5）角的平分线分得的两个角相等.2、三角形（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）；（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和
2、它不相邻的内角之和（4）全等三角形的对应角相等；（5）相似三角形的对应角相等.3、四边形（1）平行四边形的对角相等；（2）菱形的每一条对角线平分一组对角；（3）等腰梯形在同一底上的两个角相等.4、圆（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.（5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.（6）正多边形的性质：正多边形的外
3、角等于它的中心角.（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等.6、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】（一） 利用全等相关知识证明角相等例1 已知：如图，于点，于点，与交于点，且 求证：平分分析：要证平分，因为于点，于点，所以只要证明OD=OE；若能证明若能证OBDOCE即可，因为可证ODB=OEC=90,BOD=COE，而BD=CE，故问题得到解决证明：于点，于点ODB=OEC=90在OBD和OCE中ODB=OECBOD=COEBD=CEOBDOCEOD=OE于点，于点平分说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线
4、性质的逆定理例2 如图，在梯形ABCD中，ADBC，E是梯形内一点，EDAD，BE=DC，ECB=45 o求证：EBCEDC分析：要证明EBCEDC，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果能构造出两个全等的三角形即可。延长DE与BC交于点于点F， 这样就很容易证BEFDCF，从而问题得到解决。证明：延长DE与BC交于点于点FADBC，EDAD DFBCBFE=DFC=90ECB=45 oECB=CEB=45 o CF=EF在RtBEF和RtDCF中EF=CF ，BE=DCRtBEFRtDCFEBCEDC说明：本例运用全等三角形的对应角相等，来证明两角相等例3 如图，已知四边形ABCD是等
5、腰梯形，CDBA，四边形AEBC是平行四边形求证：ABDABE分析：要证ABDABE，若能证ABDABE即可因为可证BEACBD，AEBCAD，而AB为公共边，故问题得到解决证明：四边形ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD四边形AEBC是平行四边形，BCAE，ACBEADAE，BDBE又ABAB，ABDABEABDABE说明：本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等总结：这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质，在中考中也是常考的题型，在证明过程中，特别要抓住一些基本图形，同时还要注意常用辅助线的作法。（二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系例4已知：AB
6、C中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DGCE，G是垂足， 求证：G是CE的中点；B=2BCE. 分析：已知中多垂直和中线条件，可联想直角三角形斜边上的中线性质；要证明G是CE的中点，结合已知条件DGCE，符合等腰三角形三线合一中的两个条件，故连结DE，证明DCE是等腰三角形，由DGCE，可得G是CE的中点.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE，B转化为EDB.证明：连结DE，ADB=90，E是AB的中点，DE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），又DC=BE，DC=DE，又DGCE，G是CE中点（等腰三角形底边上的高平分底边）.DE=DC，DCE=DEC（等边
7、对等角），EDB=DEC+DCE=2BCE（三角形的外角等于两不相邻内角的和），又DE=BE，B=EDB，B=2BCE直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.例5 如图，直线，连结，直线及线段把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点落在某个部分时，连结，构成，三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角）（1）当动点落在第部分时，求证：；（2）当动点落在第部分时，
8、是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点在第部分时，全面探究，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明分析：本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理和外角性质图1（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E ACBD , PEA = PBD . APB = PAE + PEA , APB = PAC + PBD . 图2解法二：如图2过点P作FPAC , PAC = APF . ACBD , FPBD . FPB =PBD . 图3 APB =APF +FPB =PAC + PBD .解法三：如图3， ACBD , CAB +ABD = 180 即 PAC
9、+PAB +PBA +PBD = 180. 又APB +PBA +PAB = 180, APB =PAC +PBD . （2）不成立. 图4（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是PBD=PAC+APB .(b)当动点P在射线BA上，结论是PBD =PAC +APB .或PAC =PBD +APB 或 APB = 0，PAC =PBD（任写一个即可）.(c) 当动点P在射线BA的左侧时，图5结论是PAC =APB +PBD . 选择(a) 证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M ACBD , PMC =PBD .又PMC =PAM +APM , PBD =PAC +APB . 选择(
10、b) 证明：如图5 图6 点P在射线BA上，APB = 0. ACBD , PBD =PAC . PBD =PAC +APB 或PAC =PBD+APB 或APB = 0，PAC =PBD. 选择(c) 证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F ACBD , PFA =PBD . PAC =APF +PFA , PAC =APB +PBD总结：这类题主要考查平行线的性质，三角形的内角和，外角性质及其应用，在求解角的度数时，一般运用三角形的角及外角的关系，把所求的角集中在同一个三角形中，然后利用内角和求角度，在证明角之间的关系时，常考虑利用三角形的内角和定理和外角性质，若题中没有三角形，常通过
11、作辅助线构造三角形。（三）利用四边形的相关知识证明角的有关问题例6 已知：如图，在ABC中，ABAC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使，连结FC求证：FA分析：要证明FA，由图知只要证明四边形AEFC是平行四边形即可。证明：AB=ACABC=ACBEB=EDEBD=EDB EDB=ACB EFACE是AB的中点 AE=EB DFDE，EB=ED AE=EB= DFDEAE+EB= DF+DE即AB=EFAB=ACEF=AC又EFAC四边形AEFC是平行四边形FA说明：本例的证明用到了等腰三角形的两底角相等，平行四边形的对角相等。（四）利
12、用圆的相关知识例7如图，已知BC是直径，ADBC.求证：（1）EAF=AFE （2）BE=AE=EF分析：由BC是直径，得到BAC是直角，再利用， 得到ABE=BAE；再证EAF=FAE。证明：（1）BC是直径BAC=90 oABE+EFA=90 o ，BAE+EAF=90 oABE=BAEEAF=AFE （2）略说明：本例的证明用到了等弧所对的圆周角相等，等角的余角相等例8 已知：如图，AD为锐角ABC外接圆的直径，AEBC于E，交O于F。 求证：1=2分析：1和2分别是和所对的两个圆周角，故只需证=，但不易证明，由于2+C=90 o ，联想到把1放到直角三角形中，连结BD，可得ABD=90 o，从而问题得证。证明：连结BDAD为直径ABD=90 o1+D=90 oAEBC于E2+C=90 oC=D1=2总结：此题关键是见直径构造90 o的圆周角例9已知：如图，AB为O的直径，AC为弦，CDAB于D，若AEAC，BE交O于点F，连结EF、DE求证：（1）AE2ADAB；（2）ACFAED分析：（1）因为AE=AC，要证AE2ADAB，实际上证AC2ADAB，可转化成比例式，放入三角形中用相似三角形来证明。（2）欲证ACFAED，又知ACFABE，则只需证AED=ABE，由（1）得ADEAEB，对应角相等得证证明：（1）连结B
