《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.2 （12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.2共面向量定理学习目标1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件知识点一共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量知识点二共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得pxayb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示知识点三空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x，y，z使得xyz，且x，y，z满足xyz1，则A，B，C，D四点共面1实数与向量之间可进行加法、减法运算()2空间中任意三个向量一定是共面向量()3若P，M，A，B共面，则xy.()类型一向量共面的判定例1给出
2、以下命题：用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB，BC，CD，DA分别确定的四个向量之和为零向量；若存在有序实数组(x，y)使得xy，则O，P，A，B四点共面；若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面其中正确命题的序号是_答案解析错，空间中任意两个向量都是共面的；错，因为四条线段确定的向量没有强调方向；正确，因为，共面，O，P，A，B四点共面；错，没有强调零向量；错，例如三棱柱的三条侧棱表示的向量反思与感悟共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内
3、判定向量共面的主要依据是共面向量定理跟踪训练1下列说法正确的是_(填序号)以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；设平行六面体的三条棱是，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是；若(P)成立，则P点一定是线段AB的中点；在空间中，若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共面；若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线确定的平面是同一个平面答案类型二向量共面的证明例2如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且，点G在AH上，且m，若G，B，P，D四点共面，求m的值考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用解连结BG.因为，所以
4、，因为，所以.因为，所以，所以().又因为，所以，因为m，所以m，因为，所以.又因为G，B，P，D四点共面，所以10，m.即m的值是.反思与感悟利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系跟踪训练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点证明：向量，是共面向量证明().又，不共线，由向量共面的充要条件知，是共面向量类型三共面向量定理的应用例3如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1平面C1BD.证明记a，b，c，则ac，
5、ab，bc，所以ac，又与不共线，所以，共面又由于AB1平面C1BD，所以AB1平面C1BD.反思与感悟在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化要熟悉其证明过程和证明步骤跟踪训练3如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，设a，b，c，在面对角线AC1上和棱BC上分别取点M，N，使k，k(0k1)求证：MN平面ABB1A1.证明kk()kbkc，又akak(ba)(1k)akb，(1k)akbkbkc(1k)akc.又a与c不共线与向量a，c是共面向量又MN平面ABB1A1，MN平面ABB1A1.1给出下列几个命题：向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的
6、；若ab，则存在唯一的实数，使ab.其中真命题的个数为_答案1解析假命题三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题这是关于零向量的方向的规定；假命题当b0时，则有无数多个使之成立2已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，x，则x的值为_答案解析由题意知，x1，所以x.3下列命题中，正确命题的个数为_若ab，则a与b方向相同或相反；若，则A，B，C，D四点共线；若a，b不共线，则空间任一向量pab(，R)答案0解析当a，b中有零向量时，不正确；时，A，B，C，D四点共面不一定共线，故不正确；由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足pab(，R)，故不正确4
7、已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量确定的点P与A，B，C共面，那么_.答案解析P与A，B，C共面，()()，即(1)，11.因此1，解得.共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面(2)空间中四点共面的条件空间点P位于平面MAB内，则存在有序实数对x，y使得xy，此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，实质就是平面MAB内平面向量的一组基底另外有xy，或xyz (xyz1)，均可作为证明四点共面的条件，但是更为常用一、填空题1设a，b是两个不共线的向量，R，若ab0，则_，_.答案00解析a，b是两个不共
8、线的向量，a0，b0，0.2下列结论中，正确的是_(填序号)若a，b，c共面，则存在实数x，y，使axbyc；若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使axbyc；若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使axbyc.答案解析要注意共面向量定理给出的是一个充要条件，所以第个命题正确；但定理的应用又有一个前提：b，c是不共线向量，否则即使三个向量a，b，c共面，也不一定具有线性关系，故不正确；正确3空间的任意三个向量a，b,3a2b，它们一定是_答案共面向量解析如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a2b共面；若a，b共线，则a，b,3a2b共线，当然也共面4.如图
9、，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1，若xyz，则xyz_.答案解析().x1，y1，z.xyz.5i，j，k是三个不共面的向量，i2j2k，2ij3k，i3j5k，且A，B，C，D四点共面，则的值为_答案1解析若A，B，C，D四点共面，则向量，共面，故存在不全为零的实数a，b，c，使得abc0.即a(i2j2k)b(2ij3k)c(i3j5k)0，(a2bc)i(2ab3c)j(2a3b5c)k0.i，j，k不共面，6.如图，在空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则_.(用a，b，c表示)答案a
10、bc解析()a(ba)()a(ba)(cb)abc.7平面内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足xy，2xy，则x3y_.答案解析由点A，B，C，D共面得xy，又由点B，C，D，E共面得2xy，联立方程组解得x，y，所以x3y.8已知a(2,1,3)，b(3，4,2)，c(7，5)，若a，b，c共面，则实数的值为_答案解析易得ctab(2t3，t4，3t2)，所以解得故的值为.9已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有2，则_.答案解析因为P，A，B，C四点共面，所以xyz，且xyz1，所以21，得.10已知i，j，k是不共面向量，a2ij3k，bi4j2k，c
11、7i5jk，若a，b，c三个向量共面，则实数_.答案解析a，b，c三向量共面，存在实数m，n，使得cmanb，即7i5jkm(2ij3k)n(i4j2k).11在以下命题中，不正确的命题的个数为_已知A，B，C，D是空间任意四点，则0；|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若a与b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz(其中x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面答案3解析0，正确；若a，b同向共线，则|a|b|ab|，故不正确；由向量平行知不正确；由空间向量共面知不正确故共有3个命题不正确二、解答题12.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的
12、平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BMBD，ANAE.求证：向量，共面证明因为M在BD上，且BMBD，所以.同理.所以.又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，共面13已知非零向量e1，e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求证：A，B，C，D共面证明方法一令(e1e2)(2e18e2)v(3e13e2)0，则(23v)e1(83v)e20.因为e1，e2不共线，所以则是其中一组解，则50，所以A，B，C，D共面方法二观察可得(2e18e2)(3e13e2)5e15e25(e1e2)5，所以.由共面向量知，共面又它们有公共点A，所以A，B，C，D四点共面三、探究与拓展14如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AE3EA1，AFFD，AGGB，过E，F，G三点的平面与对角线AC1交于点P，则APPC1_.答案解析设m，因为
