《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 （15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1 空间向量及其运算空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量 的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律 知识点一 空间向量的概念 思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量 梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或 模 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量 a 的起点是 A，终点是 B，则向量 a 也可记作，其模记为|a|或|. AB AB (2)几类特殊的空间向量
2、 名称定义及表示 零向量规定长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0 单位向量模为 1 的向量称为单位向量 相反向量与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一 向量或相等向量 知识点二 空间向量及其线性运算 1空间向量的线性运算 已知空间向量 a，b，在空间任取一点 O，作a，b，c，与平面向量的运算 OA OB AB 一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为： ac； OB OA AB abc. BA OA OB 若 P 在直线 OA 上，则a(R) OP 2空间向量的加法和数乘运算满足如下
3、运算律： (1)abba； (2)(ab)ca(bc)； (3)(ab)ab(R) 知识点三 共线向量(或平行向量) 1定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共 线向量或平行向量若向量 a 与 b 平行，记作 ab，规定零向量与任意向量共线 2共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(a0)，b 与 a 共线的充要条件是存在实数 ，使 ba. 1在空间中，单位向量唯一() 2在空间中，任意一个向量都可以进行平移() 3在空间中，互为相反向量的两个向量必共线() 4空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算() 类型一 空间向量的概念及应用 例 1 如图
4、所示，以长方体 ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中： (1)试写出与相等的所有向量； AB (2)试写出的相反向量； AA1 (3)若 ABAD2，AA11，求向量的模 AC1 解 (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共 3 个 AB A1B1 DC D1C1 (2)向量的相反向量有，共 4 个 AA1 A1A B1B C1C D1D (3)| AC1 |AB |2|AD |2|AA1 |2 3. 2222129 引申探究 如图，在长方体 ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体 的顶点为起点和终点的向量中： (1)单位向量共有多少个？
5、 (2)试写出模为的所有向量 5 解 (1)由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高所对应的向量， AA AA BB BB ，共 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位 CC CC DD DD 向量共有 8 个 (2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为，故模为的向量有， 55 AD ，. DA AD DA BC CB BC CB 反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全 一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等两向量互为相反向量的充 要条件是大小相等，方向相反 跟踪训练 1 给出以下结论： 两个空间向量相等，则它们的起点
6、和终点分别相同； 若空间向量 a，b 满足|a|b|，则 ab； 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，必有； AC A1C1 若空间向量 m，n，p 满足 mn，np，则 mp. 其中不正确的命题的序号为_ 答案 解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确；若空间向量 a，b 满足|a|b|，则不一定能判断出 ab，故不正确；在正方体 ABCDA1B1C1D1中，必有 成立，故正确；显然正确 AC A1C1 类型二 空间向量的线性运算 例 2 如图，已知长方体 ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化 简结果的向量 (1)； AA CB (2). AA AB B
7、C 解 (1). AA CB AA DA AA AD AD (2)(). AA AB BC AA AB BC AB BC AC 向量，如图所示 AD AC 引申探究 利用本例题图，化简. AA AB BC CA 解 结合加法运算，得 ，0. AA AB AB AB BC AC AC CA 故0. AA AB BC CA 反思与感悟 1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后 利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止 2首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首 尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为
8、0. 跟踪训练 2 在如图所示的平行六面体中，求证：2. AC AB AD AC 证明 平行六面体的六个面均为平行四边形， ， AC AB AD AB AB AA AD AD AA AC AB AD ()()() AB AD AB AA AD AA 2() AB AD AA 又， AA CC AD BC . AB AD AA AB BC CC AC CC AC 2. AC AB AD AC 类型三 向量共线定理的理解与应用 例 3 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 在 A1D1上，且2，F 在对角 A1E ED1 线 A1C 上，且. A1F 2 3 FC 求证：E，F，B
9、三点共线 证明 设a，b，c， AB AD AA1 因为2， A1E ED1 A1F 2 3FC 所以， A1E 2 3A1D1 A1F 2 5A1C 所以 b， A1E 2 3AD 2 3 () () A1F 2 5 AC AA1 2 5 AB AD AA1 a b c. 2 5 2 5 2 5 所以 a b c b ab c. EF A1F A1E 2 5 2 5 2 5 2 3 2 5 4 15 2 5 2 5(a 2 3bc) 又 bcaa bc， EB EA1 A1A AB 2 3 2 3 所以， EF 2 5EB 又因为与有公共点 E，所以 E，F，B 三点共线 EF EB 反思与
10、感悟 1.判定共线：判定两向量 a，b(b0)是否共线，即判断是否存在实数 ，使 ab. 2求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若 ab，则 ab(R) 3判定或证明三点(如 P，A，B)是否共线 (1)是否存在实数 ，使. PA PB (2)对空间任意一点 O，是否有t. OP OA AB (3)对空间任意一点 O，是否有xy(xy1) OP OA OB 跟踪训练 3 如图，在四面体 ABCD 中，点 E，F 分别是棱 AD，BC 的中点，用，表 AB CD 示向量. EF 解 EF AF AE () 1 2 AB AC 1 2AD (). 1 2AB 1 2 AD AC
11、1 2AB 1 2CD 1下列说法中正确的是_(填序号) 若|a|b|，则 a，b 的长度相等，方向相同或相反； 若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b|； 空间向量的减法满足结合律； 在四边形 ABCD 中，一定是. AB AD AC 答案 解析 若|a|b|，则 a，b 的长度相等，方向不确定，故不正确；相反向量是指长度相同， 方向相反的向量，故正确；空间向量的减法不满足结合律，故不正确；在ABCD 中， 才有，故不正确 AB AD AC 2在平行六面体 ABCDABCD的各条棱所在的向量中，与向量相等的向 AB 量有_个 答案 3 3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，已知下列
12、各式： ()；()；()；() AB BC CC1 AA1 A1D1 D1C1 AB BB1 B1C1 AA1 A1B1 .其中运算的结果为的有_个 B1C1 AC1 答案 4 解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：() AB BC ； CC1 AC CC1 AC1 ()； AA1 A1D1 D1C1 AD1 D1C1 AC1 ()； AB BB1 B1C1 AB1 B1C1 AC1 (). AA1 A1B1 B1C1 AB1 B1C1 AC1 所以 4 个式子的运算结果都是. AC1 4化简 2233_. AB BC CD DA AC 答案 0 解析 223322220. AB BC CD DA AC AB BC CD DA CD DA AC 5若非零空间向量 e1，e2不共线，则使 ke1e2与 e1ke2共线的 k_. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 1 解析 由 ke1e2与 e1ke2共线， 得 ke1e2(e1ke2)， 即Error!Error!故 k1. 空间向量加法、减法运算的两个技巧： (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相 反向量可使
