《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形 检测A 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形 检测A （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知在ABC中,c=6,a=4,B=120,则b等于().A.76B.219C.27D.27解析:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=42+62-246cos120=76,所以b=219.答案:B2在ABC中,sin A=13,且ABC的外接圆的半径R=2,则a等于().A.23B.43C.32D.6解析:asinA=2R,a=2RsinA=22sinA=43.答案:B3在ABC中,已知b=2,c=1,B=45,则a等于().A.
2、6-22B.6+22C.2+1D.3-2解析:由b2=a2+c2-2accosB,得2=a2+1-2acos45,解得a=2+62或a=2-62(舍去).答案:B4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=6,C=4,则ABC的面积为().A.23+2B.3+1C.23-2D.3-1解析:A=-(B+C)=-6+4=712,由正弦定理得asinA=bsinB,则a=bsinAsinB=2sin712sin6=6+2,故SABC=12absinC=12(6+2)222=3+1.答案:B5若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C=51113,则ABC().A.一定是
3、锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形解析:由sinAsinBsinC=51113及正弦定理,得abc=51113.设a=5t,b=11t,c=13t,由余弦定理,得cosC=(5t)2+(11t)2-(13t)225t11t0,所以角C为钝角.答案:C6在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=3bc,sin C=23sin B,则A等于().A.30B.60C.120D.150解析:利用正弦定理,sinC=23sinB可化为c=23b,所以cosA=b2+c2-a22bc=-3bc+c22bc=-3bc+23bc2b
4、c=32,所以A=30.答案:A7ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=3,则c=().A.23B.2C.2D.1解析:由正弦定理asinA=bsinB,得1sinA=3sinB,又B=2A,1sinA=3sin2A=32sinAcosA,cosA=32,A=30,B=60,C=90,c=12+(3)2=2.答案:B8ABC的三边分别为a,b,c且a=1,B=45,SABC=2,则ABC的外接圆的直径为().A.43B.5C.52D.62解析:SABC=12acsinB,c=42.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=12+(42)2-2142cos4
5、5=25.b=5.由正弦定理得2R=bsinB=52(R为ABC外接圆的半径).答案:C9在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2A,则AC的取值范围是().A.-2,2B.0,2C.(0,2D.(2,3)解析:ABC是锐角三角形,B=2A90,C=180-3A90,即30A45.又ACsinB=BCsinA,即AC=sinBsinABC=2cosA.又30A45,AC(2,3).答案:D10如图,一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这艘船航行的速度为().A.1762海里/时B.346海里/时C.1722海里/
6、时D.342海里/时解析:由题意知PM=68海里,MPN=120,N=45.由正弦定理,知PMsin45=NMsin120.MN=68322=346(海里).速度为3464=1762(海里/时).答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在ABC中,A=45,C=105,BC=2,则AC的长度为.解析:B=180-A-C=30,由正弦定理,得ACsinB=BCsinA,故AC=sinBsinABC=sin30sin452=1.答案:112在ABC中,BC=3,AB=2,且sinCsinB=25(6+1),则A=.解析:由a=3,c=2,且sinCsi
7、nB=cb,知b=225(6+1)=6-1.故cosA=b2+c2-a22bc=-12,A=120.答案:12013在ABC中,若B=60,a=1,SABC=32,则csinC=.解析:把已知条件代入面积公式SABC=12acsinB得c=2.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=3,故b=3.由正弦定理得csinC=bsinB=2.答案:214如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN=.解析:在RtABC中,由于CAB=45,BC=
8、100m,所以AC=1002m.在MAC中,AMC=180-75-60=45,由正弦定理可得ACsinAMC=MAsinMCA,于是MA=10023222=1003(m).在RtMNA中,MAN=60,于是MN=MAsinMAN=100332=150(m),即山高MN=150m.答案:150 m15如图,在ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=3BD,BC=2BD,则sin C=.解析:设BD=a,则BC=2a,AB=AD=32a.在ABD中,由余弦定理,得cosA=AB2+AD2-BD22ABAD=32a2+32a2-a2232a32a=13.又A为ABC的内角,sinA=223
9、.在ABC中,由正弦定理得,BCsinA=ABsinC.sinC=ABBCsinA=32a2a223=66.答案:66三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B=3b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面积.解(1)由2asinB=3b及正弦定理asinA=bsinB,得sinA=32.因为A是锐角,所以A=3.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=283.由三角形面积公式S=12bc
10、sinA,得ABC的面积为733.17(8分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos C=45,c=2bcos A.(1)求证:A=B;(2)若ABC的面积S=152,求c的值.(1)证明由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc,所以c=2bb2+c2-a22bc,整理得c2=b2+c2-a2,所以a2=b2.所以a=b,所以A=B.(2)解由(1)知a=b.因为cosC=45,0C0).则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sinAsinB=si
11、nAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2)由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有cosA=b2+c2-a22bc=35.所以sinA=1-cos2A=45.由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以45sinB=45cosB+35sinB,故tanB=sinBcosB=4.20(10分)在ABC中,a,b,c为ABC的三边长,a2-a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0,求ABC中最大角的度数.解a2-a-2b-2c=0,b+c=12a(a-1).a+2b-2c+3=0,b-c=-12(a+3).解组成的方程组b+c=12a(a-1),b-c=-12(a+3),得b=14(a-3)(a+1),c=14(a2+3).由知b3,c-a=14(a2+3)-a=14(a2-4a+3)=14(a-1)(a-3)0,ca,故c为最大边,角C为最大角.在ABC中,由余弦定理的推论得cosC=a2+b2-c22ab=a2+(b+c)(b-c)2ab=a2-14a(a-1)(a+3)2a14(a-3)(a+1)=-12.C=120.
