《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形 1.2.4 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形 1.2.4 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4课时几何计算问题课时过关能力提升基础巩固1在ABC中,c=2,A=30,B=120,则ABC的面积为().A.32B.3C.33D.3答案:B2已知三角形的面积为14,其外接圆的面积为,则这个三角形的三边之积为().A.1B.2C.12D.4答案:A3已知锐角三角形ABC的面积为33,BC=4,CA=3,则角C的大小为().A.75B.60C.45D.30解析:由S=12ACBCsinC=33,得sinC=32,又C为锐角,故C=60.答案:B4已知三角形两边之差为2,它们夹角的余弦值为35,面积为14,则这个三角形的这两边长分别是().A.3和5B.4和6C.6和8D.5和7解析:设a-
2、b=2,cosC=35,sinC=45,SABC=12absinC=14,故ab=35.由a-b=2和ab=35,解得a=7,b=5.答案:D5已知ABC的面积S=3,A=3,则ABAC=.解析:S=12|AB|AC|sinA,即12|AB|AC|sin3=3,故|AB|AC|=4,ABAC=|AB|AC|cosA=4cos3=2.答案:26如图,一块四边形土地ABCD的三边AD=40 m,DC=30 m,CB=30 m,ADC=150,DCB=120,则该土地的面积约为 m2.(精确到0.01 m2)答案:1 289.717已知a,b,c是ABC的三边,其面积为14(a2+b2-c2),则角
3、C=.解析:由三角形的面积公式得12absinC=14(a2+b2-c2),所以sinC=a2+b2-c22ab=cosC.所以tanC=1,所以C=4.答案:48已知三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根,则三角形的第三边长为.解析:设三角形的第三边长为a(a0).解方程5x2-7x-6=0,得x1=-35,x2=2(舍去).因此已知两边夹角的余弦值为-35,由余弦定理,得a2=52+32-253-35=52.故a=213,即所求边长为213.答案:2139在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B
4、;(2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.(1)证明由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)解由S=a24,得12absinC=a24,故有sinBsinC=12sin2B=sinBcosB.由sinB0,得sinC=cosB.又B,C(0,),所以C=2B.当B+C=2时,A=2;当C-B=2时,A=4.综上,A=2或A=4.能力提升
5、1在ABC中,a=3,b=1,B=30,则ABC的面积S为().A.32B.34C.32或33D.32或34解析:由正弦定理asinA=bsinB,得sinA=asinBb=3sin301=32,所以A=60或A=120.当A=60时,C=90,S=12ab=1231=32;当A=120时,C=30,S=12absinC=1231sin30=34.答案:D2在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30,ABC的面积为32,则b等于().A.1+3B.1+32C.2+32D.2+3解析:由12acsin30=32,得ac=6.由余弦定理,得b2=a2+c2-2acco
6、s30=(a+c)2-2ac-3ac=4b2-12-63,得b=3+1.答案:A3在ABC中,a=1,B=45,SABC=2,则ABC外接圆的半径为().A.23B.42C.522D.32解析:SABC=12acsinB=12csin45=24c.又SABC=2,c=42.又由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=1+32-214222=25,b=5.又bsinB=2R,R=b2sinB=52sin45=522.答案:C4如图所示,一块三角形土地ABC,AD是一条小路,BC=5 m,AC=4 m,cosCAD=3132,AD=BD,则该土地的面积是 m2.解析:设CD=xm,则AD=B
7、D=(5-x)m.在CAD中,由余弦定理,可知cosCAD=(5-x)2+42-x224(5-x)=3132,解得x=1.CD=1m,AD=BD=4m.在CAD中,由正弦定理,可知ADsinC=CDsinCAD,sinC=ADCD1-cos2CAD=41-31322=378.SABC=12ACBCsinC=1245378=1574(m2).答案:15745在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,证明:a2-b2c2=sin(A-B)sinC.证明由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.两式相减,得a2-b2=b2-a2+2c(acosB-bco
8、sA),即a2-b2=c(acosB-bcosA),则a2-b2c2=acosB-bcosAc=accosB-bccosA.由正弦定理asinA=bsinB=csinC,得ac=sinAsinC,bc=sinBsinC.故a2-b2c2=sinAcosB-sinBcosAsinC=sin(A-B)sinC.6在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-3sin A)cos B=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.解(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0,即有sinAsinB-3sinAcosB=0.
9、因为sinA0,所以sinB-3cosB=0,又cosB0,所以tanB=3.又0B,所以B=3.(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB.因为a+c=1,cosB=12,所以b2=3a-122+14.又0a1,于是有14b21,即有12b1.7如图,在ABC中,ABC=90,AB=3,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90.(1)若PB=12,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA.解(1)由已知得PBC=60,所以PBA=30.在PBA中,由余弦定理得PA2=3+14-2312cos30=74.故PA=72.(2)设PBA=,则PCB=PBA=,由已知得PB=sin.在PBA中,由正弦定理得3sin150=sinsin(30-),化简得3cos=4sin.所以tan=34,即tanPBA=34.
