《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版:第1章 常用逻辑用语 1.1.1 》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版:第1章 常用逻辑用语 1.1.1 (13页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1 命题及其关系命题及其关系 1.1.1 四种命题四种命题 学习目标 1.了解命题的概念和分类.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式,能将命 题改写为“若 p,则 q”的形式.4.了解命题的概念,会写出所给命题的逆命题、否命题和逆 否命题 知识点一 命题的概念 思考 在这些语句中哪些能判断出真假,哪些不能判断出真假 (1)这幅画真漂亮! (2)求证是无理数; 3 (3)菱形是平行四边形吗? (4)等腰三角形的两底角相等; (5)x2012; (6)若 x220122,则 x2012. 答案 (1)(2)(3)(5)不能判断真假;(4)(6)能判断真假 梳理 (1)命题的概念:能够判
2、断真假的语句叫做命题 (2)分类 命题Error!Error! 知识点二 命题的构成形式 1命题的一般形式为“若 p 则 q” 其中 p 叫做命题的条件,q 叫做命题的结论 2确定命题的条件和结论时,常把命题改写成“若 p,则 q”的形式 知识点三 四种命题及其关系 思考 初中已学过命题与逆命题的知识,什么叫做命题的逆命题? 答案 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论 是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互为逆命题 梳理 (1)四种命题的概念 名称形式 原命题若 p 则 q 逆命题若 q 则 p(交换原命题的条件和结论) 否命题若非 p 则非 q(同时否定
3、原命题的条件和结论) 逆否命题若非 q 则非 p(同时否定原命题的条件和结论后,再交换) (2)四种命题间的关系 (3)四种命题间的真假关系 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真假 假假假假 由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系: 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系 四种命题中,真命题都是成对出现,即真命题的个数为 0 或 2 或 4. 1命题均能判断其真假() 2我们所学习过的定理均为命题() 3命题:若函数 f(x)为区间 D 上的奇函数,则 f(0)0,为真命题() 4命题:若 sinAsinB,则 AB,
4、其逆命题为真命题() 类型一 命题的概念及真假判断 命题角度1 命题的概念 例 1 判断下列语句是不是命题,并说明理由 (1) 是有理数; 3 (2)3x25; (3)梯形是不是平面图形呢? (4)若 xR,则 x24x50; (5)一个数的算术平方根一定是负数; (6)若 a 与 b 是无理数,则 ab 是无理数 考点 命题的定义及分类 题点 命题的定义 解 (1)“ 是有理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题 3 (2)因为无法判断“3x25”的真假,所以它不是命题 (3)“梯形是不是平面图形呢?”是疑问句,所以它不是命题 (4)“若 xR,则 x24x50”是陈述句,并且它是真的,所
5、以它是命题 (5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题 (6)“若 a 与 b 是无理数,则 ab 是无理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题 反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点 (1)一般来说,陈述句才是命题,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题 (2)语句表述的结构可以判断真假,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题 (3)对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假,若能,就是命题; 否则就不是命题 跟踪训练 1 下列语句是命题的是_(填序号) 三角形内角和等于 180;23;一个数不是正数就是负数;x2;这座山真险 啊!
6、考点 命题的定义及分类 题点 命题的定义 答案 解析 依据命题定义,得为命题 命题角度2 命题真假的判断 例 2 给定下列命题: 若 ab,则 2a2b; 命题“若 a,b 是无理数,则 ab 是无理数”是真命题; 直线 x 是函数 ysinx 的一条对称轴; 2 在ABC 中,若0,则ABC 是钝角三角形 AB BC 其中为真命题的是_(填序号) 考点 命题的真假判断 题点 命题真假的判断 答案 解析 结合函数 f(x)2x的单调性,知为真命题;而函数 ysinx 的对称轴方程为 x k,kZ,故为真命题;又因为|cos(B)|cosB0, 2 AB BC AB BC AB BC 故得 co
7、sBb,则 ac2bc2; (2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形 解 (1)逆命题:若 ac2bc2,则 ab.真命题 否命题:若 ab,则 ac2bc2.真命题 逆否命题:若 ac2bc2,则 ab.假命题 (2)逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则该四边形的对角互补真命题 否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形真命题 逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则该四边形的对角不互补真命题 反思与感悟 1.若原命题为真命题,则它的逆命题、否命题可能为真命题,也可能为假命 题 2原命题与逆否命题互为逆否命题,否命题与逆命题互为逆否命题互为逆否命题的两个 命题的真
8、假性相同 3在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数要么是 0,要么是 2,要么 是 4. 跟踪训练 4 下列命题中为真命题的是_(填序号) “正三角形都相似”的逆命题; “若 m0,则 x2xm0 有实根”的逆否命题; “若 x是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题 2 答案 解析 原命题的逆命题为“若两个三角形相似,则这两个三角形是正三角形” 故为假命 题 原命题的逆否命题为“若 x2xm0 无实根,则 m0” 方程无实根,判别式 14m5;3 是 12 的约数;0.5 是整数;x 是偶数;x1,则 x0”的逆命题是_,逆否命题是 _ 答案 若 x0,则 x1 若 x0,则 x
9、1 4在原命题“若 ABB,则 ABA”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题 的个数为_ 答案 4 解析 逆命题为“若 ABA,则 ABB” ; 否命题为“若 ABB,则 ABA” ; 逆否命题为“若 ABA,则 ABB” , 全为真命题 5已知命题 p:“若 ac0,则二次不等式 ax2bxc0 无解” (1)写出命题 p 的否命题; (2)判断命题 p 的否命题的真假 解 (1)命题 p 的否命题为“若 ac0 有解” (2)命题 p 的否命题是真命题 判断如下: 因为 ac0b24ac0二次方程 ax2bxc0 有实根ax2bxc0 有解, 所以该命题是真命题 1根据命题的定义,可以
10、判断真假的语句是命题命题的条件与结论之间属于因果关系, 真命题需要给出证明,假命题只需举出一个反例即可 2任何命题都是由条件和结论构成的,可以写成“若 p 则 q”的形式含有大前提的命题 写成“若 p 则 q”的形式时,大前提应保持不变,且不写在条件 p 中 3写一个命题的否命题时,要对命题的条件和结论都进行否定,避免出现不否定条件,而 只否定结论的错误 若由 p 经逻辑推理得出 q,则命题“若 p 则 q”为真;确定“若 p 则 q”为假时,则只需举 一个反例说明即可 一、填空题 1给出下列命题 若 ab,则 a3b3; 若 a1,则 b,则 ac2bc2; 矩形的对角线互相垂直 其中假命题
11、的个数是_ 答案 4 解析 等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等;当 x,y 中一个为零, 另一个不为零时,|x|y|0;当 c0 时不成立;矩形的对角线不一定垂直 4给出下列命题: “若 x2y20,则 x,y 不全为零”的否命题; “若an既是等差数列,又是等比数列,则 anan1(nN*)”的逆命题; “若 m1,则不等式 x22xm0 的解集为 R”的逆否命题 其中所有真命题的序号是_ 答案 解析 的否命题为“若 x2y20,则 x,y 全为零”是真命题;的逆命题为“数列an 中,若 anan1(nN*),则数列an既是等差数列,又是等比数列”是假命题,如 0,0,0;对
12、于,当 m1 时,44m0 恒成立,x22xm0 的解集为 R 是真命 题因此逆否命题是真命题 5已知命题“若 m1bc 时,ab; (2)当 m 时,mx2x10 无实根; 1 4 (3)当 ab0 时,a0 或 b0. 解 (1)若 acbc,则 ab. 当 acbc,c ,则 mx2x10 无实根 1 4 14m0,故此方程有两个不相 等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真 方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于 x 的方程 x22bxb2b0 无实根, 则 b1” 方程判别式为 4b24(b2b)4b,因为方程无实根,所以 0,所以 b1 成立,即原命题的逆否命题为真
13、 三、探究与拓展 14命题“ax22ax30 恒成立”是假命题,则实数 a 的取值范围是_ 考点 命题的真假判断 题点 由命题的真假求参数的取值范围 答案 (,0)3,) 解析 若命题“ax22ax30 恒成立”是真命题,当 a0 时,30 符合题意,当 a0 时, 则 a0 且 0 恒成立”是 真命题,故当 a0 恒成立”是假命题 15写出命题“当 2m10 时,如果0,那么 m25m60”的逆命题、否命题 m3 2m1 和逆否命题,并分别指出四种命题的真假 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 解 由 2m10,得 m . 1 2 由0,得 m3 或 m , m3 2m1 1 2
14、 又 m ,所以 m . 1 2 1 2 由 m25m60,得 2m3, 又 m ,所以 2m3. 1 2 由此可知,原命题可变为“如果 m ,那么 2m3” , 1 2 显然原命题是假命题 逆命题为“当 2m10 时,如果 m25m60, 那么0” , m3 2m1 即“如果 2m3,那么 m ” ,它是真命题 1 2 否命题为“当 2m10 时,如果0, m3 2m1 那么 m25m60” , 因为Error!Error!所以Error!Error! 所以 m , 1 2 1 2 由Error!Error!得Error!Error! 即 m2 或 m3, 1 2 所以否命题可表述为“如果 m , 1 2 1 2 那么 m2 或 m3” ,它是真命题 1 2 逆否命题为“当 2m10 时,如果 m25m60, 那么0” , m3 2m1 则逆否命题可表述为“如果 m2 或 m3, 1 2 那么 m ” ,它是假命题 1 2 1 2