《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §1 1.2 椭圆的简单性质（一） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §1 1.2 椭圆的简单性质（一） （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2 椭圆的简单性质椭圆的简单性质(一一) 学习目标 1.依据椭圆的方程研究椭圆的简单性质，并正确地画出它的图形.2.依据几何条 件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形 知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点 思考 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？ 答案 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(a，b)，(a，b)，(a，b)， (a，b) 梳理 椭圆的简单性质 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准方程 1(ab0) x2 a2 y2 b2 1(ab0) y2 a2 x2 b2 图形 焦点坐标(c,0)(0，c) 对称性以 x 轴，y 轴为对称轴的轴对称图形，以原点为对称中心
2、的中心对称图形 顶点坐标 A1(a,0)，A2(a,0)， B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)， B1(b,0)，B2(b,0) 范围 |x|a，|y|b|x|b，|y|a 长轴、短轴长轴 A1A2的长为 2a，短轴 B1B2的长为 2b 知识点二 椭圆的离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比 称为椭圆的离心率，即 e，因为 ac，故椭圆离心率 e 的 c a c a 取值范围为(0,1)，当 e 趋近于 1 时，椭圆越扁，当 e 趋近于 0 时，椭圆越圆 1椭圆1(ab0)的长轴长是 a.() x2 a2 y2 b2 2椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆() 3若椭圆的
3、对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为 10,8，则椭圆的方程为 1.() x2 25 y2 16 4设 F 为椭圆1(ab0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF|的最大值为 x2 a2 y2 b2 ac(c 为椭圆的半焦距)() 类型一 椭圆的简单性质 例 1 求椭圆 m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率 考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 解 由已知得1(m0)， x2 1 m2 y2 1 4m2 因为 0m24m2， 所以， 1 m2 1 4m2 所以椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a ， 1 m 短半轴长 b，半焦距
4、 c， 1 2m 3 2m 所以椭圆的长轴长 2a ，短轴长 2b ， 2 m 1 m 焦点坐标为， ( 3 2m，0) ( 3 2m，0) 顶点坐标为， ( 1 m，0) ( 1 m，0) (0， 1 2m) (0， 1 2m) 离心率 e . c a 3 2m 1 m 3 2 反思与感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质 跟踪训练 1 已知椭圆 C1：1，设椭圆 C2与椭圆 C1的长轴长、短轴长分别相等， x2 100 y2 64 且椭圆 C2的焦点在 y 轴上 (1)求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆 C2的方程，并研究其性质
5、考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 解 (1)由椭圆 C1：1，可得其长半轴长为 10，短半轴长为 8，焦点坐标为(6,0)， x2 100 y2 64 (6,0)，离心率 e . 3 5 (2)椭圆 C2：1.性质如下： y2 100 x2 64 范围：8x8，10y10；对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称；顶点：长轴 端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e . 3 5 类型二 由简单性质求椭圆的标准方程 例 2 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(10，0)，则焦点坐标为( )
6、 A(13,0) B(0，10) C(0，13) D(0，) 69 考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D 解析 由题意知，椭圆的焦点在 y 轴上， 且 a13，b10，则 c，故选 D. a2b269 (2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F(2，0)，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆 3 的标准方程是_ 考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 1 x2 16 y2 4 解析 由已知，得焦点在 x 轴上，且Error!Error! Error!Error! 所求椭圆的标准方程为1. x2 16 y2 4 反思与感悟 此类问题应由
7、所给的简单性质充分找出 a，b，c 所应满足的关系式，进而求 出 a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置 跟踪训练 2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，6)； (2)焦点在 x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为 6. 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程 解 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 依题意，有Error!Error!解得Error!Error! 椭圆方程为1. x2 148 y2 37 同样地可求出当焦点在 y 轴上时， 椭圆方程
8、为1. x2 13 y2 52 故所求的椭圆方程为1 或1. x2 148 y2 37 x2 13 y2 52 (2)依题意，有Error!Error! bc6， a2b2c272， 所求的椭圆方程为1. x2 72 y2 36 类型三 求椭圆的离心率 例 3 设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率 考点 椭圆的离心率问题 题点 求 a，b，c 的齐次关系式得离心率 解 设椭圆方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 F1(c,0)，P(c，yp)，代入椭圆方程得 1，y ， c2 a2 y2 p b22
9、p b4 a2 |PF1|F1F2|，即2c， b2 a b2 a 又b2a2c2，2c， a2c2 a e22e10，又0e1，e1. 2 反思与感悟 求解椭圆的离心率，其实质就是构建 a，b，c 之间的关系式，再结合 b2a2c2，从而得到 a，c 之间的关系式，进而确定其离心率 跟踪训练 3 设椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点， x2 a2 y2 b2 PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为( ) A.B. C. D. 3 6 1 3 1 2 3 3 考点 椭圆的离心率问题 题点 求 a，b，c 得离心率 答案 D 解析 由题意可设|P
10、F2|m(m0)，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故离心率 3 e . c a 2c 2a |F1F2| |PF1|PF2| 3m 2mm 3 3 1椭圆 9x2y236 的短轴长为( ) A2B4C6D12 考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 B 解析 原方程可化为1，所以 b24，b2，从而短轴长为 2b4. x2 4 y2 36 2若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.B. 1 2 3 2 C.D. 3 4 6 4 考点 椭圆的离心率问题 题点 求 a，b，c 得离心率 答案 A 解析 不妨设椭圆的左、
11、右焦点分别为 F1，F2，B 为椭圆的上顶点 依题意可知，BF1F2是正三角形 在 RtOBF2中，|OF2|c， |BF2|a，OF2B60， e cos 60 ， c a 1 2 即椭圆的离心率 e ，故选 A. 1 2 3已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，则 C 的方程是( ) 1 2 A.1B.1 x2 3 y2 4 x2 4 y2 3 C.1D.y21 x2 4 y2 3 x2 4 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的性质求方程 答案 C 解析 依题意知，所求椭圆的焦点位于 x 轴上， 且 c1，e ，即 a2，b2a2c23， c a 1 2
12、 因此椭圆的方程是1. x2 4 y2 3 4已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的 方程是 _ 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的性质求方程 答案 1 x2 16 y2 4 解析 由已知，得 a4，b2，且椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆的方程是1. x2 16 y2 4 5求椭圆 25x216y2400 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 解 将椭圆方程变形为1， y2 25 x2 16 得 a5，b4，所以 c3， 故椭圆的长轴长和短轴长分别
13、为 2a10,2b8， 离心率 e ， c a 3 5 焦点坐标为(0，3)，(0,3)， 顶点坐标为(0，5)，(0,5)，(4,0)，(4,0) 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 e 求解若已知 a，b 或 b，c 可借助于 a2b2c2 c a 求出 c 或 a，再代入公式 e 求解 c a (2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助于 a2b2c2，转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最 高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围 一、选择题 1已知椭
14、圆的方程为 2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为( ) A. B.C.D. 1 3 3 3 2 2 1 2 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 B 解析 由 2x23y2m(m0)，得1， x2 m 2 y2 m 3 c2 ，e2 ，e. m 2 m 3 m 6 1 3 3 3 2与椭圆 9x24y236 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程是( ) A.1Bx21 x2 2 y2 4 y2 6 C.y21D.1 x2 6 x2 8 y2 5 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的性质求方程 答案 B 解析 由已知 c，b1，
15、a2b2c26，且焦点在 y 轴上， 5 椭圆的标准方程为x21. y2 6 3椭圆 4x249y2196 的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A7,2，B14,4， 3 5 7 3 5 7 C7,2，D14,4， 5 7 5 7 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 B 解析 先将椭圆方程化为标准形式为1， x2 49 y2 4 其中 b2，a7，c3. 5 4焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4，则椭圆的方程为( ) 5 A.1B.1 x2 36 y2 16 x2 16 y2 36 C.1D.1 x2 6 y2 4 y2 6 x2 4 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的特
