《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版:第三章 圆锥曲线与方程 §1 1.2 椭圆的简单性质(一) 》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版:第三章 圆锥曲线与方程 §1 1.2 椭圆的简单性质(一) (14页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2 椭圆的简单性质椭圆的简单性质(一一) 学习目标 1.依据椭圆的方程研究椭圆的简单性质,并正确地画出它的图形.2.依据几何条 件求出椭圆方程,并利用椭圆方程研究它的性质、图形 知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点 思考 在画椭圆图形时,怎样才能画的更准确些? 答案 在画椭圆时,可先画一个矩形,矩形的顶点为(a,b),(a,b),(a,b), (a,b) 梳理 椭圆的简单性质 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准方程 1(ab0) x2 a2 y2 b2 1(ab0) y2 a2 x2 b2 图形 焦点坐标(c,0)(0,c) 对称性以 x 轴,y 轴为对称轴的轴对称图形,以原点为对称中心
2、的中心对称图形 顶点坐标 A1(a,0),A2(a,0), B1(0,b),B2(0,b) A1(0,a),A2(0,a), B1(b,0),B2(b,0) 范围 |x|a,|y|b|x|b,|y|a 长轴、短轴长轴 A1A2的长为 2a,短轴 B1B2的长为 2b 知识点二 椭圆的离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比 称为椭圆的离心率,即 e,因为 ac,故椭圆离心率 e 的 c a c a 取值范围为(0,1),当 e 趋近于 1 时,椭圆越扁,当 e 趋近于 0 时,椭圆越圆 1椭圆1(ab0)的长轴长是 a.() x2 a2 y2 b2 2椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆() 3若椭圆的
3、对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为 10,8,则椭圆的方程为 1.() x2 25 y2 16 4设 F 为椭圆1(ab0)的一个焦点,M 为其上任一点,则|MF|的最大值为 x2 a2 y2 b2 ac(c 为椭圆的半焦距)() 类型一 椭圆的简单性质 例 1 求椭圆 m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率 考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 解 由已知得1(m0), x2 1 m2 y2 1 4m2 因为 0m24m2, 所以, 1 m2 1 4m2 所以椭圆的焦点在 x 轴上,并且长半轴长 a , 1 m 短半轴长 b,半焦距
4、 c, 1 2m 3 2m 所以椭圆的长轴长 2a ,短轴长 2b , 2 m 1 m 焦点坐标为, ( 3 2m,0) ( 3 2m,0) 顶点坐标为, ( 1 m,0) ( 1 m,0) (0, 1 2m) (0, 1 2m) 离心率 e . c a 3 2m 1 m 3 2 反思与感悟 从椭圆的标准方程出发,分清其焦点位置,然后再写出相应的性质 跟踪训练 1 已知椭圆 C1:1,设椭圆 C2与椭圆 C1的长轴长、短轴长分别相等, x2 100 y2 64 且椭圆 C2的焦点在 y 轴上 (1)求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆 C2的方程,并研究其性质
5、考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 解 (1)由椭圆 C1:1,可得其长半轴长为 10,短半轴长为 8,焦点坐标为(6,0), x2 100 y2 64 (6,0),离心率 e . 3 5 (2)椭圆 C2:1.性质如下: y2 100 x2 64 范围:8x8,10y10;对称性:关于 x 轴、y 轴、原点对称;顶点:长轴 端点(0,10),(0,10),短轴端点(8,0),(8,0);焦点:(0,6),(0,6);离心率:e . 3 5 类型二 由简单性质求椭圆的标准方程 例 2 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴,并且过点(0,13),(10,0),则焦点坐标为( )
6、 A(13,0) B(0,10) C(0,13) D(0,) 69 考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D 解析 由题意知,椭圆的焦点在 y 轴上, 且 a13,b10,则 c,故选 D. a2b269 (2)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(2,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆 3 的标准方程是_ 考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 1 x2 16 y2 4 解析 由已知,得焦点在 x 轴上,且Error!Error! Error!Error! 所求椭圆的标准方程为1. x2 16 y2 4 反思与感悟 此类问题应由
7、所给的简单性质充分找出 a,b,c 所应满足的关系式,进而求 出 a,b,在求解时,需注意椭圆的焦点位置 跟踪训练 2 根据下列条件,求中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆方程: (1)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点(2,6); (2)焦点在 x 轴上,一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,且半焦距为 6. 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程 解 (1)当焦点在 x 轴上时,设椭圆方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 依题意,有Error!Error!解得Error!Error! 椭圆方程为1. x2 148 y2 37 同样地可求出当焦点在 y 轴上时, 椭圆方程
8、为1. x2 13 y2 52 故所求的椭圆方程为1 或1. x2 148 y2 37 x2 13 y2 52 (2)依题意,有Error!Error! bc6, a2b2c272, 所求的椭圆方程为1. x2 72 y2 36 类型三 求椭圆的离心率 例 3 设椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若 F1PF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率 考点 椭圆的离心率问题 题点 求 a,b,c 的齐次关系式得离心率 解 设椭圆方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 F1(c,0),P(c,yp),代入椭圆方程得 1,y , c2 a2 y2 p b22
9、p b4 a2 |PF1|F1F2|,即2c, b2 a b2 a 又b2a2c2,2c, a2c2 a e22e10,又0e1,e1. 2 反思与感悟 求解椭圆的离心率,其实质就是构建 a,b,c 之间的关系式,再结合 b2a2c2,从而得到 a,c 之间的关系式,进而确定其离心率 跟踪训练 3 设椭圆 C:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点, x2 a2 y2 b2 PF2F1F2,PF1F230,则 C 的离心率为( ) A.B. C. D. 3 6 1 3 1 2 3 3 考点 椭圆的离心率问题 题点 求 a,b,c 得离心率 答案 D 解析 由题意可设|P
10、F2|m(m0),结合条件可知|PF1|2m,|F1F2|m,故离心率 3 e . c a 2c 2a |F1F2| |PF1|PF2| 3m 2mm 3 3 1椭圆 9x2y236 的短轴长为( ) A2B4C6D12 考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 B 解析 原方程可化为1,所以 b24,b2,从而短轴长为 2b4. x2 4 y2 36 2若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( ) A.B. 1 2 3 2 C.D. 3 4 6 4 考点 椭圆的离心率问题 题点 求 a,b,c 得离心率 答案 A 解析 不妨设椭圆的左、
11、右焦点分别为 F1,F2,B 为椭圆的上顶点 依题意可知,BF1F2是正三角形 在 RtOBF2中,|OF2|c, |BF2|a,OF2B60, e cos 60 , c a 1 2 即椭圆的离心率 e ,故选 A. 1 2 3已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C 的方程是( ) 1 2 A.1B.1 x2 3 y2 4 x2 4 y2 3 C.1D.y21 x2 4 y2 3 x2 4 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的性质求方程 答案 C 解析 依题意知,所求椭圆的焦点位于 x 轴上, 且 c1,e ,即 a2,b2a2c23, c a 1 2
12、 因此椭圆的方程是1. x2 4 y2 3 4已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别是(4,0),(0,2),则此椭圆的 方程是 _ 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的性质求方程 答案 1 x2 16 y2 4 解析 由已知,得 a4,b2,且椭圆的焦点在 x 轴上,所以椭圆的方程是1. x2 16 y2 4 5求椭圆 25x216y2400 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 解 将椭圆方程变形为1, y2 25 x2 16 得 a5,b4,所以 c3, 故椭圆的长轴长和短轴长分别
13、为 2a10,2b8, 离心率 e , c a 3 5 焦点坐标为(0,3),(0,3), 顶点坐标为(0,5),(0,5),(4,0),(4,0) 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法:若已知 a,c 可直接利用 e 求解若已知 a,b 或 b,c 可借助于 a2b2c2 c a 求出 c 或 a,再代入公式 e 求解 c a (2)方程法:若 a,c 的值不可求,则可根据条件建立 a,b,c 的关系式,借助于 a2b2c2,转化为关于 a,c 的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以 a 的最 高次幂,得到关于 e 的方程或不等式,即可求得 e 的值或范围 一、选择题 1已知椭
14、圆的方程为 2x23y2m(m0),则此椭圆的离心率为( ) A. B.C.D. 1 3 3 3 2 2 1 2 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 B 解析 由 2x23y2m(m0),得1, x2 m 2 y2 m 3 c2 ,e2 ,e. m 2 m 3 m 6 1 3 3 3 2与椭圆 9x24y236 有相同焦点,且短轴长为 2 的椭圆的标准方程是( ) A.1Bx21 x2 2 y2 4 y2 6 C.y21D.1 x2 6 x2 8 y2 5 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的性质求方程 答案 B 解析 由已知 c,b1,
15、a2b2c26,且焦点在 y 轴上, 5 椭圆的标准方程为x21. y2 6 3椭圆 4x249y2196 的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A7,2,B14,4, 3 5 7 3 5 7 C7,2,D14,4, 5 7 5 7 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 B 解析 先将椭圆方程化为标准形式为1, x2 49 y2 4 其中 b2,a7,c3. 5 4焦点在 x 轴上,长、短半轴长之和为 10,焦距为 4,则椭圆的方程为( ) 5 A.1B.1 x2 36 y2 16 x2 16 y2 36 C.1D.1 x2 6 y2 4 y2 6 x2 4 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的特