《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 （13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 双曲线双曲线 2.3.1 双曲线的标准方程双曲线的标准方程 学习目标 1.掌握双曲线标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用 双曲线的定义和标准方程解决简单的问题 知识点 双曲线的标准方程 思考 双曲线标准方程中的 a，b，c 的关系如何？与椭圆标准方程中的 a，b，c 的关系有 何不同？ 答案 双曲线标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定 形条件，这里 b2c2a2，即 c2a2b2，其中 ca，cb，a 与 b 的大小关系不确定；而在 椭圆中 b2a2c2，即 a2b2c2，其中 ab0，ac，c 与 b 大小不确定 梳理
2、(1)两种形式的标准方程 焦点所在的坐标轴x 轴y 轴 标准方程1 x2 a2 y2 b2 (a0，b0) 1 y2 a2 x2 b2 (a0，b0) 图形 焦点坐标 F1(c,0)， F2(c,0) F1(0，c)， F2(0，c) a，b，c 的关系式a2b2c2 (2)焦点 F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型 “焦点跟着 正项走” ，若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2项的系数为正，那么焦点在 y 轴 上 (3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为 Ax2By21(AB0，b0)， y2 a2 x2 b2 则有Error!Error!解
3、得Error!Error! 故所求双曲线的方程为1. y2 5 x2 4 方法二 由椭圆方程1 知焦点在 y 轴上， y2 25 x2 16 设所求双曲线方程为1(160，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为 x2 a2 y2 b2 1(b20，即(k1)(k1)0 时，方程化为1， x2 k 2 y2 k c2 k，26，解得 k6. k 2 3k 2 3k 2 当 k9. 7设椭圆1 和双曲线y21 的公共焦点为 F1，F2，P 是两曲线的一个公共点， x2 6 y2 2 x2 3 则 cosF1PF2_. 答案 1 3 解析 设 PF1d1，PF2d2，则 d1d22， 6 |d1d2|
4、2， 3 22，得 d d 18. 2 12 2 22，得 2d1d26. 而 c2，cosF1PF2 . d2 1d2 24c2 2d1d2 1816 6 1 3 8与双曲线1 有相同焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程为_ x2 4 y2 2 答案 1 x2 3 y2 3 解析 双曲线1 的焦点在 x 轴上， x2 4 y2 2 设所求双曲线的方程为1(a0，b0) x2 a2 y2 b2 又两曲线有相同的焦点，a2b2c2426. 又点 P(2,1)在双曲线1 上， x2 a2 y2 b2 1. 4 a2 1 b2 由得，a2b23， 故所求双曲线方程为1. x2 3 y2 3 9已知双
5、曲线 x2y21，点 F1，F2为其左，右焦点，点 P 为双曲线上一点，若 PF1PF2，则 PF1PF2的值为_ 答案 2 3 解析 设 P 在双曲线的右支上，PF12x，PF2x(x0)，因为 PF1PF2， 所以(x2)2x2(2c)28， 所以 x1，x21， 33 所以 PF2PF1112. 333 10焦点在 x 轴上的双曲线经过点 P(4，3)，且 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此 2 双曲线的标准方程为_ 答案 1 x2 16 y2 9 解析 设焦点 F1(c,0)，F2(c,0)(c0)， 则由 QF1QF2，得 kQF1kQF21， 1，c5. 5 c 5 c 设双
6、曲线方程为1(a0，b0)， x2 a2 y2 b2 双曲线过点(4，3)，1， 2 32 a2 9 b2 又c2a2b225，a216，b29. 双曲线的标准方程为1. x2 16 y2 9 11已知双曲线1 上一点 P 到 F(3,0)的距离为 6，O 为坐标原点，若 ( x2 4 y2 5 OQ 1 2 OP )，则|的值为_ OF OQ 答案 1 或 5 解析 由题意得 Q 为 PF 的中点， 设左焦点为 F，其坐标为(3,0)， OQ PF. 1 2 若 P 在双曲线的左支上， 则 OQ PF (PF2a) (622)1； 1 2 1 2 1 2 若 P 在双曲线的右支上， 则 OQ
7、 PF (PF2a) (622)5. 1 2 1 2 1 2 综上，|1 或 5. OQ 二、解答题 12设 F1，F2是双曲线1(a0)的两个焦点，若点 P 在双曲线上， x2 4a y2 a 且0，|2，求双曲线的方程 PF1 PF2 PF1 PF2 解 0， PF1 PF2 PF1 PF2 |2|2|220a. PF1 PF2 F1F2 又|4. PF1 PF2 a 2，得 2|4a. PF1 PF2 |2，a1. PF1 PF2 双曲线的方程为y21. x2 4 13已知双曲线1 的左，右焦点为 F1，F2. x2 16 y2 4 (1)若点 M 在双曲线上，且0，求 M 点到 x 轴
8、的距离； MF1 MF2 (2)若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线 C 的方程 2 解 (1)如图所示，不妨设 M 在双曲线的右支上，M 点到 x 轴的距离为 h，0， MF1 MF2 则 MF1MF2， 设 MF1m，MF2n， 由双曲线定义知，mn2a8， 又 m2n2(2c)280， 由得 mn8， SMF1F2 mn4 F1F2h，h. 1 2 1 2 2 5 5 (2)设所求双曲线 C 的方程为 1(45， 则 c2mm59，m7； (2)当焦点在 y 轴上时，有 m0， 则 c2m5m9，m2. 综上，m7 或 m2. 15已知双曲线过点(3，2)且与
9、椭圆 4x29y236 有相同的焦点 (1)求双曲线的标准方程； (2)若点 M 在双曲线上，F1，F2为左，右焦点，且 MF1MF26，试判断MF1F2的形 3 状 解 (1)椭圆方程可化为1，焦点在 x 轴上， x2 9 y2 4 且 c， 945 故设双曲线方程为1， x2 a2 y2 b2 则有Error!Error!解得Error!Error! 所以双曲线的标准方程为1. x2 3 y2 2 (2)不妨设 M 点在右支上，则有 MF1MF22， 3 又 MF1MF26， 3 故解得 MF14，MF22， 33 又 F1F22， 5 所以在MF1F2中，MF1边最长， cosMF2F10， MF2 2F1F2 2MF2 1 2MF2F1F2 又因为MF2F1(0，180)， 所以MF2F1为钝角，故MF1F2为钝角三角形
