《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 （13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2双曲线的几何性质学习目标1.了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系知识点一双曲线的性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中ca，b，c间的关系c2a2b2(ca0，cb0)知识点二等轴双曲线思考求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点(1)x2y21；(2)4x24
2、y21.答案(1)的实半轴长为1，虚半轴长为1(2)的实半轴长为，虚半轴长为.它们的实半轴长与虚半轴长相等梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为.1双曲线1与1(a0，b0)的形状相同()2双曲线1与1(a0，b0)的渐近线相同()3等轴双曲线的离心率为.()4离心率是的双曲线为等轴双曲线()类型一双曲线的几何性质例1求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程解把方程nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程为1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e，顶
3、点坐标为(，0)，(，0)，所以渐近线方程为yx，即yx.引申探究将本例改为“求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答解将9y24x236变形为1，即1，所以a3，b2，c，因此顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程为yxx.反思与感悟由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半
4、轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解把方程9y216x2144化为标准方程1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3，c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)，离心率e，渐近线方程为yx.类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.所求双曲线的标准方程为1或1.(2)当焦点在x轴上时，由且a3，得b，所求双曲线的标准方程为1.当焦
5、点在y轴上时，由且a3，得b2.所求双曲线的标准方程为1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k(k0)，将点(2，2)代入，得k(2)22，双曲线的标准方程为1.反思与感悟由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为(1)判断：利用条件判断焦点的位置(2)设：设出双曲线的标准方程(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程(4)求：解参数方程，进而得标准方程跟踪训练2(1)求与双曲线1有共同的渐近线，且经过点M(3，2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程解(1)设
6、所求双曲线的方程为(0)点M(3，2)在双曲线上，即2.双曲线的标准方程为1.(2)e，a23b2.又直线AB的方程为bxayab0，d，即4a2b23(a2b2)解组成的方程组，得a23，b21.双曲线的标准方程为y21.类型三双曲线的离心率例3已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率解设F1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，那么y.由PF2QF2，PF2Q90，知PF1F1F2，所以2c，所以b22ac，所以c22aca20，所以2210，即e22e10，
7、所以e1或e1(舍去)所以双曲线的离心率为1.反思与感悟求双曲线离心率的三种方法(1)若可求得a，c，则直接利用e得解(2)若已知a，b，可直接利用e得解(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解跟踪训练3设双曲线1(ba0)的焦距为2c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为_考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率答案2解析如图所示，在OAB中，OAa，OBb，OEc，ABc.因为ABOEOAOB，所以ccab，即(a2b2)ab，两边同除以a2，得20，解
8、得或(舍去)所以e2.1双曲线3x2y23的渐近线方程是_答案yx解析双曲线方程可化为标准形式1，a1，b，双曲线的渐近线方程为yxx.2设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF13，则PF2_.答案7解析双曲线的一条渐近线方程为yx，由题意得，又b29，a2，由双曲线定义知，|PF1PF2|2a4，PF27.3若双曲线的实轴长与虚轴长之比为，则双曲线的离心率e_.答案解析由题意得，e.4设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析由条件知2b2,2c2，b1，c，a2c2b22，即a，双曲线方
9、程为y21，因此其渐近线方程为yx.5已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为_答案1解析依题意知，焦点在x轴上，c4，2，a2.b2c2a212.故双曲线的方程为1.1双曲线离心率及其范围的求法：(1)双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法(2)双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a，|a|等非负性2求双曲线的标准方程，当焦点不明确时，方程可能有两种形式，为了避
10、免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，从而直接求得；若已知双曲线的渐近线方程为yx，还可以将方程设为(0)避免焦点的讨论一、填空题1已知点(2,0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b_.答案解析由题意知c2，a1，由c2a2b2，得b2413，所以b.2已知双曲线x21(m0)的离心率为2，则m的值为_答案3解析由题意得，a21，b2m，c，根据双曲线离心率e2，得m3.3已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率为，则C的方程是_答案1解析由题意可知c3，a2，b，故双曲线的方程为1.4设ABC是等腰三角形，ABC120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率
11、为_答案解析由题意2cABBC，AC22csin602c，由双曲线的定义，有2aACBC2c2ca(1)c，e.5已知双曲线1(b0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为_答案2解析由双曲线方程知a2，又e2，所以c4，所以b2.所以双曲线的一条渐近线方程为yxx，一个焦点为F(4,0)焦点F到渐近线yx的距离d2.6已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为54，则双曲线的标准方程是_答案1解析双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x轴上，且a3，焦距与虚轴长之比为54，即cb54，解得c5，b4，则双曲线的标准方程是1.7已知双曲
12、线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是_答案2，)解析因为双曲线渐近线的斜率为k，直线的斜率为ktan60，故有，所以e2，所以所求离心率的取值范围是e2.8已知圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_答案解析由双曲线的几何性质，可知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆心C的横坐标为4.故圆心坐标为或.故圆心到双曲线中心的距离为.9已知双曲线C：1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是_答案(4，)解析等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔，双曲线C：1的离心率e，e22，即2，m4.10若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上任意一点，则的取值范围是_答案32，)解析由题意知c2，a222123，双曲线的方程为y21.设点P的坐标为(x1，y1)(x1)，则y1，(x1，y1)(x12，y1)x2x1yx2x112x11.函数f(x1)2x11在，)上单调递增，故f(x)21
