《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 习题课2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 习题课2 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题课(二)数列求和课时过关能力提升基础巩固1设数列an的前n项和为Sn,如果an=1(2n-1)(2n+1),那么S5等于().A.12B.511C.49D.59解析:an=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,S5=121-13+13-15+15-17+17-19+19-111=511.答案:B2若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则数列an的前n项和为().A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-2解析:Sn=(2+22+2n)+(1+3+5+2n-1)=2(1-2n)1-2+(1+2n-1)n2=2n+1-2+n2.答案:C
2、3数列an的通项公式an=1n+n+1,若该数列前n项的和为10,则项数为().A.11B.99C.120D.121解析:an=1n+n+1=n+1-n,Sn=n+1-1=10,n=120.答案:C4数列125,158,1811,1(3n-1)(3n+2),的前n项和为().A.n3n+2B.n6n+4C.3n6n+4D.n+1n+2解析:1(3n-1)(3n+2)=1313n-1-13n+2,所求和为1312-15+15-18+18-111+13n-1-13n+2=1312-13n+2=n6n+4.答案:B5已知数列an,其前n项和为Sn,且an=-2n-(-1)n,则S10=.解析:S10
3、=-2(1+2+3+10)+(1-1+1-1+1-1)=-210112+0=-110.答案:-1106已知an=ln1+1n(nN*),则数列an的前n项和为Sn=.解析:an=lnn+1n=ln(n+1)-lnn,Sn=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+ln(n+1)-lnn=ln(n+1)-ln1=ln(n+1).答案:ln(n+1)7设数列an的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,nN*.(1)求通项公式an;(2)求数列|an-n-2|的前n项和.解(1)由题意得a1+a2=4,a2=2a1+1,则a1=1,a2=3.又当n2时,由an+1-a
4、n=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an.所以,数列an的通项公式为an=3n-1,nN*.(2)设bn=|3n-1-n-2|,nN*,b1=2,b2=1.当n3时,由于3n-1n+2,故bn=3n-1-n-2,n3.设数列bn的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.当n3时,Tn=3+9(1-3n-2)1-3-(n+7)(n-2)2=3n-n2-5n+112,所以Tn=2,n=1,3n-n2-5n+112,n2,nN*.8已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列1a2n-1a2n+1的前n项和.解(1)设等差数
5、列an的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)2d.由已知可得3a1+3d=0,5a1+10d=-5,解得a1=1,d=-1.故数列an的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)=1212n-3-12n-1,从而数列1a2n-1a2n+1的前n项和为121-1-11+11-13+12n-3-12n-1=n1-2n.9已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求an的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和.解(1)等比数列bn的公比q=b3b2=93=3,所以b1=b2q=1,b4
6、=b3q=27.设等差数列an的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.所以an=2n-1(n=1,2,3,).(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1.因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.从而数列cn的前n项和Sn=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1=n(1+2n-1)2+1-3n1-3=n2+3n-12.能力提升1数列an,bn都是等差数列,a1=5,b1=7,且a20+b20=60,则an+bn的前20项和为().A.700B.710C.720D.730解析:数列an+bn也是等差数列,其首项为12,第20项为60,所以其前20
7、项和为20(a1+b1+a20+b20)2=20(12+60)2=720.答案:C2已知数列an的通项公式an=2n-12n,其前n项和Sn=32164,则n的值为().A.13B.10C.9D.6解析:an=2n-12n=1-12n,Sn=n-121-12n1-12=n-1+12n=32164=5+164,n=6.答案:D3已知数列an:12,13+23,14+24+34,15+25+35+45,则数列1anan+1的前n项和为().A.41-1n+1B.412-1n+1C.1-1n+1D.12-1n+1解析:an=1+2+3+nn+1=n(n+1)2n+1=n2,bn=1anan+1=4n
8、(n+1)=41n-1n+1.Sn=41-12+12-13+13-14+1n-1n+1=41-1n+1.答案:A4已知数列an的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),则S15+S22-S31的值是().A.13B.-76C.46D.76解析:S15=1+(-5+9)+(-13+17)+(-53+57)=1+47=29,S22=(1-5)+(9-13)+(81-85)=-411=-44,S31=1+(-5+9)+(-13+17)+(-117+121)=1+415=61,S15+S22-S31=29-44-61=-76.答案:B5在数列an中,an=nsinn2
9、+cosn2,前n项和为Sn,则S100=.解析:易知a1=1,a2=-2,a3=-3,a4=4,a1+a2+a3+a4=0.又sinn2+cosn2的周期为4,an+an+1+an+2+an+3=0,S100=0.答案:06在有限数列an中,Sn为an的前n项和,把S1+S2+Snn称为数列an的“优化和”.若数列a1,a2,a3,a2 015的“优化和”为2 016,则数列1,a1,a2,a3,a2 015的“优化和”为.解析:设数列1,a1,a2,a3,a2015的前n项和为Tn,则T1=1,T2=S1+1,T3=S2+1,T4=S3+1,T2015=S2014+1,T2016=S201
10、5+1,于是T1+T2+T3+T2016=2016+S1+S2+S2015.S1+S2+S20152015=2016,S1+S2+S2015=20152016.T1+T2+T3+T2016=2016+20152016=20162,其优化和为201622016=2016.答案:2 0167等比数列an的前n项和为Sn,已知对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0,且b1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=n+14an(nN*),求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题意,得Sn=bn+r,当n2时,Sn-1=bn-1+r,an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).b0,且b1,当n2时,数列an是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b-1),a2a1=b,即b(b-1)b+r=b,解得r=-1.(2)由(1)知,an=(b-1)bn-1=2n-1,nN*,bn=n+142n-1=n+12n+1.Tn=222+323+424+n+12n+1,12Tn=223+324+n2n+1+n+12n+2,两式相减,得12Tn=222+123+124+12n+1-n+12n+2=12+1231-12n-11-12-n+12n+2=34-12n+1-n+12n+2,故Tn=32-12n-n+12n+1=32-n+32n+1.
