《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §3 3.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §3 3.2 （17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、32 双曲线的简单性质双曲线的简单性质 学习目标 1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.了解离 心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题 知识点 双曲线的性质 标准方程 1(a0，b0) x2 a2 y2 b2 1(a0，b0) y2 a2 x2 b2 图形 范围 xa 或 xaya 或 ya 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 渐近线 y x b a y x a b 性质 离心率 e ，e(1，)，其中 c c aa2b2 a，b，c 间的关系c2a2b2(ca0，cb0) 1双曲线1 与1(a0，b0)的形状相同() x2
2、 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 2双曲线1 与1(a0，b0)的渐近线相同() x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 3实轴长与虚轴长相等的双曲线的离心率为.() 2 类型一 双曲线的性质 例 1 求双曲线 9y24x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近 线方程 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程求 a，b，c 及渐近线 解 双曲线的方程化为标准形式是1， x2 9 y2 4 a29，b24，a3，b2，c. 13 又双曲线的焦点在 x 轴上， 顶点坐标为(3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(，0)，(，0)， 1313 实轴长 2a6，虚轴
3、长 2b4，离心率 e ， c a 13 3 渐近线方程为 y x. 2 3 引申探究 求双曲线 nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标 和渐近线方程 解 把方程 nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程为1(m0，n0)， x2 m y2 n 由此可知，实半轴长 a， m 虚半轴长 b，c， nmn 焦点坐标为(，0)，(，0)， mnmn 离心率 e ， c a mn m 1n m 顶点坐标为(，0)，(，0)， mm 所以渐近线方程为 yx，即 yx. n m mn m 反思与感悟 由双曲线的方程研究性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式
4、是解决本题的关键 (2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值 (3)由 c2a2b2求出 c 的值，从而写出双曲线的简单性质 跟踪训练 1 求双曲线 9y216x2144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近 线方程 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程求 a，b，c 及渐近线 解 把方程 9y216x2144 化为标准方程为 1. y2 42 x2 32 由此可知，实半轴长 a4，虚半轴长 b3， c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)， a2b24232 离心率 e ，渐近线方程为 y x. c a 5 4 4 3 类型二 由双曲线的性质求标准方程 例 2 (1)已知双
5、曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)， 2 则双曲线的标准方程为( ) A.1B.1 x2 4 y2 4 y2 4 x2 4 C.1D.1 x2 8 y2 4 y2 8 x2 4 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程求 a，b，c 及渐近线 答案 B 解析 由已知，得双曲线的焦点在 y 轴上， 从而可设双曲线的方程为1(a0，b0) y2 a2 x2 b2 一个顶点为(0,2)，a2. 又实轴长与虚轴长之和等于焦距的倍， 2 2a2b2c. 2 又 a2b2c2，b24， 所求双曲线的方程为1. y2 4 x2 4 (2)求与双曲线1 有共同的渐近线，并且
6、经过点 A(2，3)的双曲线的方程 x2 16 y2 93 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程求 a，b，c 及渐近线 解 双曲线1 的渐近线方程为 y x. x2 16 y2 9 3 4 当所求双曲线的焦点在 x 轴上时， 设所求双曲线的方程为1(a0，b0) x2 a2 y2 b2 因为 ，所以 b a. b a 3 4 3 4 因为点 A(2，3)在所求双曲线上，所以1. 3 12 a2 9 b2 联立得方程组无解 当所求双曲线的焦点在 y 轴上时， 设所求双曲线的方程为1(a0，b0)， y2 a2 x2 b2 因为 ，所以 a b. a b 3 4 3 4 因为点 A(2，3
7、)在所求双曲线上，所以1. 3 9 a2 12 b2 由，得 a2 ，b24， 9 4 所以所求双曲线的方程为1. y2 9 4 x2 4 反思与感悟 (1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)， 但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式 (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧 焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0) x2 a2 y2 b2 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0) y2 a2 x2 b2 与双曲线1 共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20，b0)的离心率 e，过点 A(0，b)和 B(a,0)的直线与原 x2
8、a2 y2 b2 2 3 3 点的距离为，求此双曲线的标准方程 3 2 考点 由双曲线的简单性质求方程 题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 解 (1)设所求双曲线的方程为(0) y2 4 x2 3 点 M(3，2)在双曲线上， ，即 2. 4 4 9 3 双曲线的标准方程为1. x2 6 y2 8 (2)e， ， ，a23b2. 2 3 3 c a 2 3 3 a2b2 a2 4 3 又直线 AB 的方程为 bxayab0， d，即 4a2b23(a2b2) |ab| a2b2 3 2 解组成的方程组，得 a23，b21. 双曲线的标准方程为y21. x2 3 类型三 求双曲线的离心
9、率 例 3 已知 F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ 是经过 F1且垂直于 x x2 a2 y2 b2 轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率 解 设 F1(c,0)，将 xc 代入双曲线的方程得1， c2 a2 y2 b2 那么 y. b2 a 由|PF2|QF2|，PF2Q90，知|PF1|F1F2|， 所以2c，所以 b22ac， b2 a 所以 c22aca20，所以 22 10， ( c a) c a 即 e22e10， 所以 e1或 e1(舍去)， 22 所以双曲线的离心率为 1. 2 反思与感悟 求
10、双曲线离心率的三种方法 (1)若可求得 a，c，则直接利用 e 求解 c a (2)若已知 a，b，可直接利用 e求解 1(b a)2 (3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2qacra20(p，q，r 为常数，且 p0)，则转化 为关于 e 的方程 pe2qer0 求解 跟踪训练 3 设双曲线1(ba0)的焦距为 2c，直线 l 过点 A(a,0)，B(0，b)两点， x2 a2 y2 b2 已知原点到直线 l 的距离为c，则双曲线的离心率为_ 3 4 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率 答案 2 解析 如图所示，在OAB 中， |OA|a，|OB|b，|OE|c，
11、 3 4 |AB|c. a2b2 因为|AB|OE|OA|OB|， 所以 ccab，即(a2b2)ab， 3 4 3 4 两边同除以 a2，得 2 0， 3 4( b a) b a 3 4 解得 或 (舍去)， b a3 b a 3 3 所以 e 2. c a a2b2 a2 1(b a)2 1已知双曲线方程为 x28y232，则( ) A实轴长为 4，虚轴长为 2 2 B实轴长为 8，虚轴长为 4 2 C实轴长为 2，虚轴长为 4 2 D实轴长为 4，虚轴长为 8 2 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程求 a，b，c 答案 B 解析 双曲线方程 x28y232 化为标准方程为1，可得
12、 a4，b2，所以双曲 x2 32 y2 42 线的实轴长为 8，虚轴长为 4. 2 2下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y x 的是( ) 1 2 Ax21B.y21 y2 4 x2 4 C.x21Dy21 y2 4 x2 4 考点 由双曲线的简单性质求方程 题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 答案 D 解析 由选项知，焦点在 y 轴上的双曲线有x21 与 y21，而x21 的渐近线 y2 4 x2 4 y2 4 方程是 y2x，y21 的渐近线方程是 y x，故选 D. x2 4 1 2 3若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为 x
13、2 a2 y2 b2 ( ) A.B. C. D. 7 3 5 4 4 3 5 3 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案 D 解析 双曲线1 的一条渐近线经过点(3，4)， x2 a2 y2 b2 3b4a，9(c2a2)16a2， e ，故选 D. c a 5 3 4设双曲线的渐近线方程为 y x，则该双曲线的离心率 e_. 1 2 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案 或 5 25 解析 当焦点在 x 轴上时， ， b a 1 2 所以 e211 ，所以 e； b2 a2 1 4 5 4 5 2 当焦点在 y 轴上时， ， a b 1 2
14、 所以 e21145，所以 e. b2 a25 5已知 F 是双曲线 C：x21 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A(0,6)当APF y2 86 周长最小时，该三角形的面积为_ 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程研究其他问题 答案 12 6 解析 设左焦点为 F1，|PF|PF1|2a2， |PF|2|PF1|，APF 的周长为|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF 周长最 小即为|AP|PF1|最小，当 A，P，F1三点共线时最小(P 在 A，F1之间)，过 AF1的直线方 程为1，与 x21 联立，解得 P 点坐标为(2,2)，此时 x 3 y 6 6 y2 86 SS |F1F|yA |F1F|yP12. 11 AF FF PF SS AA 1 2 1 26 1随着 x 和 y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线 方程可确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值，但无法确定焦点位置 2求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成 0，分解因式即得渐近线方程，若 已知渐近线方程 mxny0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为(0)求 x2 n2 y2 m2 解 3与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为 x2 a2 y2 b2 (0，a0，b0) x2 a2 y2 b2 一、选择题 1双曲
