《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.4.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.4.1 （5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4 等比数列等比数列 第 1 课时 等比数列 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 若等比数列的首项为 4,末项为 128,公比为 2,则这个数列的项数为( ). A.4B.8C.6D.32 解析:由等比数列的通项公式,得 128=42n-1,2n-1=32,所以 n=6. 答案:C 2 已知等比数列an满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7等于( ). A.64B.81C.128D.243 解析:数列an为等比数列,设其公比为 q, 2+ 3 1+ 2 = = 2. 又 a1+a2=3,a1=1. 故 a7=a1q6=126=64. 答案:A 3 设 a1=2,数列1+2an是
2、公比为 2 的等比数列,则 a6等于( ). A.31.5B.160C.79.5D.159.5 解析:1+2an=(1+2a1)2n-1=52n-1, 1+2a6=525, a6 = 5 32 - 1 2 = 79.5. 答案:C 4 在等比数列an中,已知 a1a2a12=64,则 a4a6的值为( ). A.16B.24C.48D.128 解析:设公比为 q,则 a1a2a12 = 3 112 = 64, 所以 a1q4=4.所以 a4a6=(a1q4)2=16. 答案:A 5 若三个正数 a,b,c 成等比数列,其中 a=5+2 6, = 5 2 6,则 = . 解析:因为 a,b,c
3、成等比数列,所以 b2=ac, 即 b2=(5+2 6)(5 2 6) = 1. 又 b 是正数,所以 b=1. 答案:1 6 在等比数列an中,a1 = 9 8, = 1 3,公比 = 2 3,则 = . 解析:an = 9 8 (2 3) - 1. 由 an = 1 3 ,得 9 8 (2 3) - 1 = 1 3, 故(2 3) - 1 =(2 3) 3, = 4. 答案:4 7 在各项均为正数的等比数列an中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6的值是 . 答案:4 8 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB,然后每 3 分钟自身复制一次,复制后所 占内存是原来的
4、2 倍,则开机后 分钟,该病毒占据内存 64 MB.(1 MB=210 KB) 解析:经过一次复制占内存 22KB,经过两次复制占内存 23KB,经过 n 次复制占内存 2n+1KB. 由 2n+1KB=64M=64210=216KB, 得 n=15,即复制 15 次后占内存 64MB. 又每 3 分钟复制一次,所以需经过 45 分钟. 答案:45 9 已知各项都为正数的数列an满足 a1=1, 2 (2 + 1 1) 2 + 1 = 0. (1)求 a2,a3; (2)求an的通项公式. 解(1)由题意得 a2 = 1 2,3 = 1 4. (2)2an+1(an+1)=an(an+1).
5、由 2 (2 + 1 1) 2 + 1 = 0得 因为an的各项都为正数,所以 + 1 = 1 2. 故an是首项为 1,公比, 为1 2的等比数列 因此 an = 1 2 - 1. 10 在等比数列an中,a1=2,a4=16. (1)求数列an的通项公式; (2)若 a3,a5分别为等差数列bn的第 4 项和第 16 项,试求数列bn的前 n 项和 Sn. 解(1)设等比数列an的公比为 q, 则 a4=a1q3=2q3=16,解得 q=2. 所以 an=a1qn-1=22n-1=2n. (2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b4=8,b16=32. 设等差数列bn的公差为 d, 则
6、 有 1+ 3 = 8, 1+ 15 = 32, ? 解得1 = 2, = 2. ? 故数列bn的前 n 项和 Sn=nb1 + ( - 1) 2 =2n + ( - 1) 2 2 = 2 + . 能力提升能力提升 1 已知等差数列an的公差为 3,若 a1,a3,a4成等比数列,则 a2等于( ). A.9B.3C.-3D.-9 解析:a1=a2-3,a3=a2+3,a4=a2+32=a2+6. 由于 a1,a3,a4成等比数列,则 2 3= 14, 所以(a2+3)2=(a2-3)(a2+6),解得 a2=-9. 答案:D 2 若实数 a,b,c 成等比数列,则函数 f(x)=ax2+bx
7、+c 的图象与 x 轴交点的个数是( ). A.0B.1C.2D.不能确定 解析:b2=ac,且 a,b,c 均不为零, b2-4ac=b2-4b2=-3b20.所以 q=1+ 2. 所 以 6+ 7 8+ 9 = 15+ 16 17+ 18 = 1 2 = 1 (1 + 2)2 =3-2 2. 答案:D 4 已知数列 1,a1,a2,9 是等差数列,数列 1,b1,b2,b3,9 是等比数列,则 2 1+ 2的值为 . 解析:1,a1,a2,9 是等差数列,a1+a2=1+9=10. 1,b1,b2,b3,9 是等比数列, 2 2= 1 9 = 9, 2 1= 2 0. 2 = 3. 2 1
8、+ 2 = 3 10. 答案: 3 10 5 某林场的树木每年以 25%的增长率增长,则第 10 年末的树木总量是今年的 倍. 解析:设这个林场今年的树木总量是 m,第 n 年末的树木总量为 an,则 an+1=an+an25%=1.25an, 所以 + 1 = 1.25, 即数列an是公比 q=1.25 的等比数列. 于是 a10=a1q9=1.259m,所以 10 1 = 1.259. 答案:1.259 6 已知 a,b,c 成等比数列,m,n 分别是 a,b 和 b,c 的等差中项,则 + = . 解析:m = + 2 , = + 2 ,2 = , + = 2 + + 2 + = 2(
9、+ ) + 2( + ) ( + )( + ) = 2 + 4 + 2 + + 2+ = 2( + 2 + ) + 2 + = 2. 答案:2 7 数列an的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn(nN*),求数列an的通项公式. 解an+1=2Sn,an=2Sn-1(n2,nN*). 当 n2 时,an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an. an+1=3an(n2,nN*). 又 a2=2S1=2a1=2, 数列an从第二项起是等比数列. an=a23n-2=23n-2(n2,nN*). 综上,an = 1, = 1, 23 - 2, 2, * . ? 8 设数列an的前 n 项
10、和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明数列bn是等比数列; (2)求数列an的通项公式. (1)证明a1=1,Sn+1=4an+2, a1+a2=4a1+2,即 a2=3a1+2=5, b1=a2-2a1=3. 又当 n2 时,有 Sn=4an-1+2, Sn+1-Sn=an+1=4an-4an-1, an+1-2an=2(an-2an-1). 又 bn=an+1-2an,bn=2bn-1(n2). 数列bn是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列. (2)解由(1)可得 bn=an+1-2an=32n-1, + 1 2 + 1 2 = 3 4. 数, 列 2是首项为 1 2,公差为 3 4的等差数列 2 = 1 2 + 3 4( 1) = 3 4 1 4. an2n=(3n-1)2n-2. = 3 - 1 4
