《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.5 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.5 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5 等比数列的前等比数列的前 n 项和项和 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 已知数列an是由正数组成的等比数列,Sn表示an的前 n 项和.若 a1=3,a2a4=144,则 S10的值是( ). A.511B.1 023C.1 533D.3 069 解析:设等比数列an的公比为 q,则 a2a4 = 2 14 = 144. a1=3,32q4=144. q0,q=2. S10069. = 1(1 - 10) 1 - = 3(1 - 210) 1 - 2 = 3 答案:D 2 等比数列 1,x,x2,x3,的前 n 项和 Sn等于( ). A .1 - 1 - .1 - - 1 1
2、 - C . 1 - 1 - , 1 , = 1 ? . 1 - - 1 1 - , 1 , = 1 ? 解析:当 x=0 时,Sn=1;当 x=1 时,Sn=n; 当 x0,且 x1 时,Sn = 1 - 1 - . 又当 x=0 时,该式也满足, 所以 Sn = , = 1, 1 - 1 - , 1. ? 答案:C 3 设 Sn为等比数列an的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比 q 等于( ). A.3B.4C.5D.6 解析:由题意,得 3S3-3S2=(a4-2)-(a3-2), 则 3a3=a4-a3,即 a4=4a3,故 q = 4 3 = 4. 答案:
3、B 4 已知等比数列an的公比为 q,其前 n 项和为 Sn,若 S3,S9,S6成等差数列,则 q3等于( ). A. 1 2.1 C. 1 2或1. 1或 1 2 解析:S3,S9,S6成等差数列, S3+S6=2S9,q1, 1(1 - 3) 1 - + 1(1 - 6) 1 - = 21(1 - 9) 1 - , 整理得 2q9-q6-q3=0. 又 q0,2q6-q3-1=0, 解得 q3=1(舍去)或 q3= 1 2, 3 = 1 2. 答案:A 5 已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前 n 项和等于 . 解析:设数列an的公比为 q,由已知条
4、件可 得1 + 13 = 9, 2 1 3 = 8, ? 解得 1 = 8, = 1 2 ? 或1 = 1, = 2, ? 因为an是递增的等比数列,所以 1 = 1, = 2. ? 所以an是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, 故 Sn=2n-1. 答案:2n-1 6 已知等比数列的前 20 项的和为 30,前 30 项的和为 70,则前 10 项的和为 . 解析:由题意知 S20=30,S30=70. S10,S20-S10,S30-S20成等比数列, (S20-S10)2=S10(S30-S20), 即(30-S10)2=S10(70-30),解得 S10=10. 答案:10 7 设
5、 Sn为等比数列an的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3成等差数列,则 an= . 解析:设等比数列an的公比为 q,则 an=a1qn-1=qn-1. 因为 3S1,2S2,S3成等差数列,所以 2(2S2)=3S1+S3,即 4S2=3+S3, 即 4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3), 也就是 4(1+q)=3+(1+q+q2), 整理得 q2-3q=0,解得 q=3 或 q=0(舍去). 所以等比数列an的首项为 a1=1,公比为 q=3, 故 an=3n-1. 答案:3n-1 8 一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的 2 倍,一共点了 381 盏灯
6、,则底层所点灯的盏数是 . 解析:由题意知,每层所点的灯的盏数成等比数列,且公比 q=2,S7=381. 由 S7=381 得 S7a1=3. = 1(1 - 7) 1 - = 1(1 - 27) 1 - 2 = 381,解得 故 a7=a1q6=326=192, 即底层所点灯的盏数是 192. 答案:192 9 已知数列an是等比数列,Sn为其前 n 项和. (1)设 S3 = 3 2,6 = 21 16,求; (2)若 S4,S10,S7成等差数列,证明 a1,a7,a4也成等差数列. (1)解设等比数列an的首项为 a1,公比为 q. 由已知得 q1,于 是 1(1 - 3) 1 - =
7、 3 2, 1(1 - 6) 1 - = 21 16, ? 解an=a1qn-1=2 得 1 = 2, = - 1 2. ? 故 (- 1 2) - 1. (2)证明S4,S10,S7成等差数列, q1,S4+S7=2S10, 1(1 - 4) 1 - + 1(1 - 7) 1 - = 21(1 - 10) 1 - , 整理得 q4+q7=2q10, 1+q3=2q6, a1+a1q3=2a1q6, a1+a4=2a7, 即 a1,a7,a4也成等差数列. 10 等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2成等差数列. (1)求an的公比 q; (2)已知 a1-a3=3,求 S
8、n. 解(1)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2). 因为 a10,所以 2q2+q=0. 又 q0,所以 q= 1 2. (2)由已知可得 a1-aa1=4. 1(- 1 2) 2= 3,解得 从而 Sn = 4 1 - (- 1 2) 1 - (- 1 2) = 8 3 1 - (- 1 2) . 能力提升能力提升 1 在等比数列an(nN*)中,若 a1=1,a4 = 1 8,则该数列的前10项和为( ). A.2 1 28.2 1 29 C.2 1 210.2 1 211 解析:设公比为 q,q 则 1 = 1, 13= 1 8, ? 解得 = 1 2, 则该
9、数列的前 10 项和为 S10 = 1(1 - 10) 1 - = 1 - 1 210 1 - 1 2 = 2 1 29. 答案:B 2 设数列an是由正数组成的等比数列,Sn为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5等于( ). A. 15 2 .31 4 .33 4 .17 2 解析:设等比数列an的公比为 q, 则 113 = 1, 1(1 - 3) 1 - = 7, ? 解得 1 = 4, = 1 2 , ? 所以 S5 = 4 ( 1 - 1 25) 1 - 1 2 = 31 4 . 答案:B 3 若数列an是等比数列,且对任意 nN*,a1+a2+an=2n-1,则
10、2 1+ 2 2+ 2 3+ + 2 等于( ). A.(2n-1)2B. 1 3(2 1)2 C.4n-1D. 1 3(4 1) 解析:由 Sn=2n-1 得 a1=S1=1,a2=S2-S1=22-2=2. 故公比为 q=2,可知数,公比为 q2=4. 列 2 是等比数列 所 以 2 1+ 2 2+ 2 3+ + 2 = 1 - 4 1 - 4 = 1 3(4 1) 答案:D 4 等比数列an的首项为 1,公比为 q,前 n 项和为 S,由原数列各项的倒数组成一个新数 列 1 ,则 1 的前项和是( ). A .1 . 1 . - 1 . 解析:因为 a1=1,公比为 q,若 q1, 则其
11、前 n 项和为 S = 1 - 1 - . 而在数,公比 列 1 中 为1 ,首项为 1 1, 设其前 n 项和为 S, 则 S = 1 1 1 - ( 1 ) 1 - 1 = 1 - 1 - 1(1 - ) = - 1 . 当 q=1 时,S=S=n,也符合 SC. = - 1 .故选 答案:C 5 等比数列an的前 n 项和为 Sn,S2=3,S6=63,则 S4=. 解析:由题意可知 S2,S4-S2,S6-S4成等比数列, 则(S4-S2)2=S2(S6-S4),(S4-3)2=3(63-S4), 解得 S4=15 或 S4=-12. 又 S4=S2+S2q2=3+3q20, S4=1
12、5. 答案:15 6 某公司今年获得利润 500 万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年利润比上一年增加 30%,则 7 年后该公司实 现的总利润为 万元. 解析:设第 n 年的利润为 an万元, 则 an+1=an+an30%=1.3an, 则 + 1 = 1.3. 所以数列an是首项为 500,公比为 1.3 的等比数列, 所以 7 年后该公司实现的总利润为 S7 = 1(1 - 7) 1 - = 500 (1 - 1.37) 1 - 1.3 ). = 5000 3 (1.37 1)(万元 答案: 5000 3 (1.37 1) 7 在数列an中,a1N*). = 1 3,前项和满足 +
13、1 =( 1 3) + 1( (1)求数列an的通项公式 an及其前 n 项和 Sn; (2)若 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数 t 的值. 解(1)由 Sn+1-Snan+1N*). =(1 3) + 1 ,得 =(1 3) + 1( 又 a1anN*). = 1 3 ,所以 =(1 3) ( 从而 SnN*). = 1 2 1 - ( 1 3) ( (2)由(1)知,S1 = 1 3,2 = 4 9,3 = 13 27, 从而由 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可t=2. 得1 3 + 3 (4 9 + 13 27) = 2 (1 3 + 4
14、9),解得 8 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,a2=4,S5=35. (1)求数列an的前 n 项和 Sn; (2)若数列bn满足 bn= ,求数列的前项和. 解(1)设数列an的首项为 a1,公差为 d, 则 1+ = 4, 51+ 5 (5 - 1) 2 = 35, ? 解得1 = 1, = 3, ? 故 Sn=na1 + ( - 1) 2 = (3 - 1) 2 . (2)由(1),得 an=3n-2,bn=e3n-2,且 b1=e. 当 n2), 时, - 1 = 3 - 2 3( - 1) - 2 = 3(定值 数列bn是首项为 e,公比为 e3的等比数列. Tn = (1 - 3) 1 - 3 = 3 + 1 - 3 - 1 .
