《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2（一） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2（一） （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质(一一) 学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条 件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形 知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标 思考 观察椭圆1(ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样 x2 a2 y2 b2 的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 答案 (1)范围：axa，byb； (2)对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点 A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b) 梳理 椭圆的几何性质 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准
2、方程 1(ab0) x2 a2 y2 b2 1(ab0) y2 a2 x2 b2 图形 焦点坐标(c,0)(0，c) 对称性关于 x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称 顶点坐标 A1(a,0)，A2(a,0)， B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)， B1(b,0)，B2(b,0) 范围 |x|a，|y|b|x|b，|y|a 长轴、短轴长轴 A1A2长为 2a，短轴 B1B2长为 2b 知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？ 答案 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于 0，椭圆越接近于圆，反之，越扁 梳理 (1)焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率
3、c a 记为：e . c a (2)对于1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于 0，c 就越接近于 0，从而 x2 a2 y2 b2 b 越接近于 a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当 ab 时，c0，两焦点重合，图形 变成圆，方程变为 x2y2a2.(如图) 1椭圆1(ab0)的长轴长是 a.() x2 a2 y2 b2 2椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆() 3若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为 10,8，则椭圆的方程为 1.() x2 25 y2 16 4设 F 为椭圆1(ab0)的一个焦点，M 为其上任一点，则 MF 的最大值为 x2 a2 y2 b2 ac.(
4、c 为椭圆的半焦距)() 类型一 由椭圆方程研究其几何性质 例 1 求椭圆 9x216y2144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标 解 已知方程化成标准方程为1， x2 16 y2 9 于是 a4，b3，c， 1697 椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a8 和 2b6， 离心率 e ，又知焦点在 x 轴上， c a 7 4 两个焦点坐标分别是(，0)和(，0)， 77 四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)和(0,3) 引申探究 本例中若把椭圆方程改为“9x216y21” ，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐 标 解 由已知得椭圆标准方程为1， x2 1 9 y2 1
5、 16 于是 a ，b ，c. 1 3 1 4 1 9 1 16 7 12 长轴长 2a ，短轴长 2b ， 2 3 1 2 离心率 e . c a 7 4 焦点坐标为和， ( 7 12，0) ( 7 12，0) 顶点坐标为，. ( 1 3，0) (0， 1 4) 反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式， 然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a，b，c 之间的关系和定义，求 椭圆的基本量 跟踪训练 1 求椭圆 9x2y281 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率 解 椭圆的标准方程为1，则 a9，b3，c6，长轴长 2a18，短
6、x2 9 y2 81a2b22 轴长 2b6， 焦点坐标为(0,6)，(0，6)， 22 顶点坐标为(0,9)，(0，9)，(3,0)，(3,0) 离心率 e . c a 2 2 3 类型二 椭圆几何性质的简单应用 命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程 (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为 ，焦距为 8； 1 2 (2)已知椭圆的离心率为 e ，短轴长为 8. 2 35 解 (1)由题意知，2c8，c4， e ，a8， c a 4 a 1 2 从而 b2a2c248， 椭圆的标准方程是1. y2 64 x2 48 (2)由 e
7、得 c a， c a 2 3 2 3 又 2b8，a2b2c2，所以 a2144，b280， 5 所以椭圆的标准方程为1 或1. x2 144 y2 80 x2 80 y2 144 反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出 a，b，c 所应满足的关系式，进而求出 a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置 跟踪训练 2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，6)； (2)焦点在 x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为 12. 解 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为1(ab0) x2
8、a2 y2 b2 依题意有Error!Error!解得Error!Error! 椭圆方程为1. x2 148 y2 37 同样地可求出当焦点在 y 轴上时， 椭圆方程为1. x2 13 y2 52 故所求椭圆的方程为1 或1. x2 148 y2 37 x2 13 y2 52 (2)依题意有Error!Error!bc6，a2b2c272， 所求的椭圆方程为1. x2 72 y2 36 命题角度2 最值问题 例 3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 e，已知点 P到椭圆上的 3 2 (0， 3 2) 点的最远距离是，求这个椭圆的方程 7 解 设所求椭圆方程为1(ab0) x2 a
9、2 y2 b2 ，a2b. b a a2c2 a21e2 1 2 椭圆方程为1. x2 4b2 y2 b2 设椭圆上点 M(x，y)到点 P的距离为 d， (0， 3 2) 则 d2x2 24b2 y23y (y 3 2) (1 y2 b2) 9 4 3 24b23， (y 1 2) 令 f(y)3 24b23. (y 1 2) 当b ，即 b 时， 1 2 1 2 df4b237， 2max ( 1 2) 解得 b1，椭圆方程为y21. x2 4 当 0)，则此椭圆的离心率为_ 答案 3 3 解析 由 2x23y2m(m0)，得1， x2 m 2 y2 m 3 c2 ，e2 ，又0e1，e.
10、 m 2 m 3 m 6 1 3 3 3 2与椭圆 9x24y236 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程是_ 答案 x21 y2 6 解析 由已知得 c，b1，所以 a2b2c26， 5 又椭圆的焦点在 y 轴上， 故椭圆的标准方程为x21. y2 6 3若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 _ 答案 3 5 解析 由题意有，2a2c2(2b)，即 ac2b， 又 c2a2b2，消去 b 整理得 5c23a22ac， 即 5e22e30， 又0e1，e 或 e1(舍去) 3 5 4若焦点在 y 轴上的椭圆1 的离心率为 ，则 m 的值为_ x2 m y
11、2 2 1 2 答案 3 2 解析 焦点在 y 轴上，0b0)的焦点分别为 F1，F2，F1F22，离心率 e ，则椭 x2 a2 y2 b2 1 2 圆的标准方程为_ 答案 1 x2 4 y2 3 解析 因为 F1F22，离心率 e ， 1 2 所以 c1，a2， 所以 b23，椭圆方程为1. x2 4 y2 3 5中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是 3 2 _ 答案 y21 或1 x2 4 x2 4 y2 16 解析 若焦点在 x 轴上，则 a2. 又 e，c.b2a2c21， 3 23 方程为y21. x2 4 若焦点在 y 轴上，则 b2. 又 e
12、，1 ，a24b216， 3 2 b2 a2 3 4 1 4 方程为1. x2 4 y2 16 6椭圆1 的左焦点为 F1，点 P 在椭圆上，若线段 PF1的中点 M 在 y 轴上，则点 x2 12 y2 3 P 的纵坐标是_ 答案 3 2 解析 设椭圆的右焦点为 F2，由题意知 PF2x 轴， 因为 a212，b23，所以 c2a2b29，c3. 所以点 P 和点 F2的横坐标都为 3. 故将 x3 代入椭圆方程，可得 y. 3 2 7椭圆(m1)x2my21 的长轴长是_ 答案 2 m m 解析 椭圆方程可化简为1，由题意知 m0，b0)的左，右焦点，P 为直线 x上一点， x2 a2 y
13、2 b2 3a 2 F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为_ 答案 3 4 解析 设直线 x与 x 轴交于点 M，则PF2M60， 3a 2 在 RtPF2M 中，PF2F1F22c，F2Mc， 3a 2 故 cos60 ， F2M PF2 3a 2 c 2c 1 2 解得 ，故离心率 e . c a 3 4 3 4 二、解答题 12已知椭圆 C1：1，设椭圆 C2与椭圆 C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆 x2 100 y2 64 C2的焦点在 y 轴上 (1)求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆 C2的方程，并研究其性质 解 (1)由椭圆
14、 C1：1 可得其长半轴长为 10， x2 100 y2 64 短半轴长为 8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率 e . 3 5 (2)椭圆 C2：1，性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于 x 轴、 y2 100 x2 64 y 轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)，焦点坐标 (0,6)，(0，6)；离心率：e . 3 5 13分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)离心率是 ，长轴长是 6； 2 3 (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6. 解 (1)设椭圆的标准方程为 1 (ab0)或1 (ab0) x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 由已知得 2a6，e ，a3，c2. c a 2 3 b2a2c2945. 椭圆的标准方程为1 或1. x2 9 y2 5 x2 5 y2 9 (2)设椭圆的标准方程为1 (ab0) x2 a2 y2 b2 如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2上的中线(高)，且 OFc，A1A22b， cb3，a2b2c218， 故所求椭圆的标准方程为1. x2 18 y2 9 三、探究与拓展 14已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，过点 E x2 a2 y2 b2 的直线与椭圆
