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1、2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分 条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证 明 知识点一 充分条件与必要条件 (1)“若 p,则 q”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q.这时,我们就说,由 p 可推出 q,记作 pq,并且说 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件 (2)若 pq,但 qp,称 p 是 q 的充分不必要条件,若 qp,但 pq,称 p 是 q 的必要不 充分条件 知识点二 充要条件 思考 在ABC 中,角 A,B,C 为它的三个
2、内角,则“A,B,C 成等差数列”是 “B60”的什么条件? 答案 因为 A,B,C 成等差数列,故 2BAC,又因为 ABC180,故 B60,反 之,亦成立,故“A,B,C 成等差数列”是“B60”的充要条件 梳理 (1)一般地,如果既有 pq,又有 qp,就记作 pq,此时,我们说,p 是 q 的充 分必要条件,简称充要条件 (2)充要条件的实质是原命题“若 p,则 q”和其逆命题“若 q,则 p”均为真命题,如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也是 p 的充要条件,即如果 pq,那么 p 与 q 互为充要条件 (3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件. 若 AB,则 p
3、是 q 的充分条件,若 A?B,则 p 是 q 的充分不必要 条件 若 BA,则 p 是 q 的必要条件,若 B?A,则 p 是 q 的必要不充分 条件 若 AB,则 p,q 互为充要条件 若 AB 且 BA,则 p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条 件 其中 p:Ax|p(x)成立,q:Bx|q(x)成立 1q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件() 2若 p 是 q 的充要条件,则 p 和 q 是两个相互等价的命题() 3q 不是 p 的必要条件时, “pq”成立() 类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判定 例 1 下列各题中,试分别指出 p 是 q 的什么条件
4、(1)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等; (2)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等; (3)p:AB,q:ABA; (4)p:ab,q:acbc. 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 解 (1)两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等两个三角形相似, p 是 q 的必要不充分条件 (2)矩形的对角线相等,pq, 而对角线相等的四边形不一定是矩形, qp,p 是 q 的充分不必要条件 (3)pq,且 qp,p 既是 q 的充分条件,又是 q 的必要条件 (4)pq,且 qp,p 是 q 的既不充分又不必要条件 反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断
5、方法 (1)定义法 确定谁是条件,谁是结论; 尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件; 尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件 (2)命题判断法 如果命题:“若 p,则 q”为真命题,那么 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件; 如果命题:“若 p,则 q”为假命题,那么 p 不是 q 的充分条件,同时 q 也不是 p 的必要 条件 跟踪训练 1 指出下列各题中,p 是 q 的什么条件? (1)p:ax2ax10 的解集是 R,q:00 满足题意; 当 a0 时,由Error!Error!可得 00 和 a2x
6、2b2xc20 的 解集分别是集合 M 和 N,那么“”是“MN”的( ) a1 a2 b1 b2 c1 c2 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 D 解析 若0)内不是单调函数的充要条件是( ) A01 1 2 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 答案 B 解析 f(x)Error!Error! f(x)的图像在(0,1)内单调递减, 在(1,)内单调递增 若 f(x)在(m,2m1)(m0)上不是单调函数, 则Error!Error!0m1. 二、填空题 9若 a(1,2x),
7、b(4,x),则“a 与 b 的夹角为锐角”是“0x”的 2 _条件 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 既不充分又不必要 10 “(x1)(x2)0”是“(x1)(x22)0”的_条件(填“充分不必要” “必要 不充分” “充要”或“既不充分又不必要”) 考点 充分、必要条件的判断 题点 必要不充分条件的判断 答案 必要不充分 解析 (x1)(x2)0x2 或 x1,(x1)(x22)0x1,因为 x1x2 或 x1,x2 或 x1x1,所以应填“必要不充分” 11有下列命题: “x2 且 y3”是“xy5”的充分条件; “b24ac0”是“一元二次不等式 ax
8、2bxc0 的解集为 R”的充要条件; “a2”是“直线 ax2y0 平行于直线 xy1”的充分不必要条件; “xy1”是“lgxlgy0”的必要不充分条件 其中真命题的序号为_ 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 解析 当 x2 且 y3 时,xy5 成立,反之不一定,所以“x2 且 y3”是 “xy5”的充分不必要条件,故为真命题; 不等式解集为 R 的充要条件是 a0 且 b24ac0,故为假命题; 当 a2 时,两直线平行,反之,若两直线平行,则 ,所以 a2,所以“a2”是 a 1 2 1 “两直线平行”的充要条件,故为假命题; lg xlg ylg(x
9、y)0,所以 xy1 且 x0,y0,所以 xy1 必成立,反之不然,所以 “xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件,故为真命题 综上可知,真命题是. 三、解答题 12判断下列各题中,p 是 q 的什么条件 (1)p:|x|y|,q:xy; (2)p:ABC 是直角三角形,q:ABC 是等腰三角形; (3)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形; (4)p:圆 x2y2r2(r0)与直线 axbyc0 相切,q:c2(a2b2)r2. 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 解 (1)|x|y|xy,但 xy|x|y|, p 是 q 的必要不充分条件 (2)
10、ABC 是直角三角形ABC 是等腰三角形, ABC 是等腰三角形ABC 是直角三角形, p 是 q 的既不充分又不必要条件 (3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形, 四边形是矩形四边形的对角线互相平分, p 是 q 的必要不充分条件 (4)若圆 x2y2r2(r0)与直线 axbyc0 相切, 则圆心(0,0)到直线 axbyc0 的距离等于 r, 即 r, |c| a2b2 c2(a2b2)r2; 反过来,若 c2(a2b2)r2, 则r 成立, |c| a2b2 说明圆 x2y2r2(r0)的圆心(0,0)到直线 axbyc0 的距离等于 r, 即圆 x2y2r2(r0)与直线 axby
11、c0 相切, 故 p 是 q 的充要条件 13已知 p:2x23x20,q:x22(a1)xa(a2)0,且命题 p 是命题 q 的充分不必 要条件,求实数 a 的取值范围 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 解 令 Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0 Error!Error!,Nx|x22(a1)xa(a2)0 x|(xa)x(a2)0x|xa2 或 xa 由已知 pq 且 qp,得 M?N, Error!Error!或Error!Error! 解得 a2 或 a2,即 a2. 3 2 3 2 3 2 即实数 a 的取值范围是. 3 2,2 四、探究
12、与拓展 14下列各题中,p 是 q 的充要条件的是_(填序号) p:m2 或 m6,q:yx2mxm3 有两个不同的零点; p:1,q:yf(x)为偶函数; fx fx p:coscos,q:tantan; p:ABA,q:UBUA. 考点 充分、必要条件的判断 题点 充要条件的判断 答案 解析 对于,q:yx2mxm3 有两个不同的零点q:m24(m3) 0q:m2 或 m6p; 对于,当 f(x)0 时,qp; 对于,若 ,k (kZ),则有 cos cos ,但没有 tan tan ,pq; 2 对于,p:ABAp:ABq:UBUA. 15已知 Px|x28x200,非空集合 Sx|1mx1m若 xP 是 xS 的必 要条件,求 m 的取值范围 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的取值范围 解 由 x28x200,得2x10, Px|2x10 由 xP 是 xS 的必要条件,知 SP. 则Error!Error! 当 0m3 时,xP 是 xS 的必要条件,即所求 m 的取值范围是0,3