《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第一章 常用逻辑用语 §2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第一章 常用逻辑用语 §2 （13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分 条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证 明 知识点一 充分条件与必要条件 (1)“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q.这时，我们就说，由 p 可推出 q，记作 pq，并且说 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 (2)若 pq，但 qp，称 p 是 q 的充分不必要条件，若 qp，但 pq，称 p 是 q 的必要不 充分条件 知识点二 充要条件 思考 在ABC 中，角 A，B，C 为它的三个
2、内角，则“A，B，C 成等差数列”是 “B60”的什么条件？ 答案 因为 A，B，C 成等差数列，故 2BAC，又因为 ABC180，故 B60，反 之，亦成立，故“A，B，C 成等差数列”是“B60”的充要条件 梳理 (1)一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq，此时，我们说，p 是 q 的充 分必要条件，简称充要条件 (2)充要条件的实质是原命题“若 p，则 q”和其逆命题“若 q，则 p”均为真命题，如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件，即如果 pq，那么 p 与 q 互为充要条件 (3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件. 若 AB，则 p
3、是 q 的充分条件，若 A?B，则 p 是 q 的充分不必要 条件 若 BA，则 p 是 q 的必要条件，若 B?A，则 p 是 q 的必要不充分 条件 若 AB，则 p，q 互为充要条件 若 AB 且 BA，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条 件 其中 p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立 1q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件() 2若 p 是 q 的充要条件，则 p 和 q 是两个相互等价的命题() 3q 不是 p 的必要条件时， “pq”成立() 类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判定 例 1 下列各题中，试分别指出 p 是 q 的什么条件
4、(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：AB，q：ABA； (4)p：ab，q：acbc. 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 解 (1)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似， p 是 q 的必要不充分条件 (2)矩形的对角线相等，pq， 而对角线相等的四边形不一定是矩形， qp，p 是 q 的充分不必要条件 (3)pq，且 qp，p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件 (4)pq，且 qp，p 是 q 的既不充分又不必要条件 反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断
5、方法 (1)定义法 确定谁是条件，谁是结论； 尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； 尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件 (2)命题判断法 如果命题：“若 p，则 q”为真命题，那么 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件； 如果命题：“若 p，则 q”为假命题，那么 p 不是 q 的充分条件，同时 q 也不是 p 的必要 条件 跟踪训练 1 指出下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (1)p：ax2ax10 的解集是 R，q：00 满足题意； 当 a0 时，由Error!Error!可得 00 和 a2x
6、2b2xc20 的 解集分别是集合 M 和 N，那么“”是“MN”的( ) a1 a2 b1 b2 c1 c2 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 D 解析 若0)内不是单调函数的充要条件是( ) A01 1 2 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 答案 B 解析 f(x)Error!Error! f(x)的图像在(0,1)内单调递减， 在(1，)内单调递增 若 f(x)在(m,2m1)(m0)上不是单调函数， 则Error!Error!0m1. 二、填空题 9若 a(1,2x)，
7、b(4，x)，则“a 与 b 的夹角为锐角”是“0x”的 2 _条件 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 既不充分又不必要 10 “(x1)(x2)0”是“(x1)(x22)0”的_条件(填“充分不必要” “必要 不充分” “充要”或“既不充分又不必要”) 考点 充分、必要条件的判断 题点 必要不充分条件的判断 答案 必要不充分 解析 (x1)(x2)0x2 或 x1，(x1)(x22)0x1，因为 x1x2 或 x1，x2 或 x1x1，所以应填“必要不充分” 11有下列命题： “x2 且 y3”是“xy5”的充分条件； “b24ac0”是“一元二次不等式 ax
8、2bxc0 的解集为 R”的充要条件； “a2”是“直线 ax2y0 平行于直线 xy1”的充分不必要条件； “xy1”是“lgxlgy0”的必要不充分条件 其中真命题的序号为_ 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 解析 当 x2 且 y3 时，xy5 成立，反之不一定，所以“x2 且 y3”是 “xy5”的充分不必要条件，故为真命题； 不等式解集为 R 的充要条件是 a0 且 b24ac0，故为假命题； 当 a2 时，两直线平行，反之，若两直线平行，则 ，所以 a2，所以“a2”是 a 1 2 1 “两直线平行”的充要条件，故为假命题； lg xlg ylg(x
9、y)0，所以 xy1 且 x0，y0，所以 xy1 必成立，反之不然，所以 “xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件，故为真命题 综上可知，真命题是. 三、解答题 12判断下列各题中，p 是 q 的什么条件 (1)p：|x|y|，q：xy； (2)p：ABC 是直角三角形，q：ABC 是等腰三角形； (3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形； (4)p：圆 x2y2r2(r0)与直线 axbyc0 相切，q：c2(a2b2)r2. 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 解 (1)|x|y|xy，但 xy|x|y|， p 是 q 的必要不充分条件 (2)
10、ABC 是直角三角形ABC 是等腰三角形， ABC 是等腰三角形ABC 是直角三角形， p 是 q 的既不充分又不必要条件 (3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形， 四边形是矩形四边形的对角线互相平分， p 是 q 的必要不充分条件 (4)若圆 x2y2r2(r0)与直线 axbyc0 相切， 则圆心(0,0)到直线 axbyc0 的距离等于 r， 即 r， |c| a2b2 c2(a2b2)r2； 反过来，若 c2(a2b2)r2， 则r 成立， |c| a2b2 说明圆 x2y2r2(r0)的圆心(0,0)到直线 axbyc0 的距离等于 r， 即圆 x2y2r2(r0)与直线 axby
11、c0 相切， 故 p 是 q 的充要条件 13已知 p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，且命题 p 是命题 q 的充分不必 要条件，求实数 a 的取值范围 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 解 令 Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0 Error!Error!，Nx|x22(a1)xa(a2)0 x|(xa)x(a2)0x|xa2 或 xa 由已知 pq 且 qp，得 M?N， Error!Error!或Error!Error! 解得 a2 或 a2，即 a2. 3 2 3 2 3 2 即实数 a 的取值范围是. 3 2，2 四、探究
12、与拓展 14下列各题中，p 是 q 的充要条件的是_(填序号) p：m2 或 m6，q：yx2mxm3 有两个不同的零点； p：1，q：yf(x)为偶函数； fx fx p：coscos，q：tantan； p：ABA，q：UBUA. 考点 充分、必要条件的判断 题点 充要条件的判断 答案 解析 对于，q：yx2mxm3 有两个不同的零点q：m24(m3) 0q：m2 或 m6p； 对于，当 f(x)0 时，qp； 对于，若 ，k (kZ)，则有 cos cos ，但没有 tan tan ，pq； 2 对于，p：ABAp：ABq：UBUA. 15已知 Px|x28x200，非空集合 Sx|1mx1m若 xP 是 xS 的必 要条件，求 m 的取值范围 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的取值范围 解 由 x28x200，得2x10， Px|2x10 由 xP 是 xS 的必要条件，知 SP. 则Error!Error! 当 0m3 时，xP 是 xS 的必要条件，即所求 m 的取值范围是0,3
