《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.2.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.2.2 （5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 课时 等差数列的性质 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 已知 m 和 2n 的等差中项是 4,2m 和 n 的等差中项是 5,则 m 和 n 的等差中项是( ). A.2B.3C.6D.9 解析:由已知可得 m+2n=8,2m+n=10, 3(m+n)=18,m+n=6.m 和 n 的等差中项是 3.故选 B. 答案:B 2 若等差数列an的公差为 d,则数列can(c 为常数,且 c0)是( ). A.公差为 d 的等差数列B.公差为 cd 的等差数列 C.不是等差数列D.以上都不对 解析:设 bn=can,则 bn+1-bn=can+1-can=c(an+1-an)=cd.
2、答案:B 3 已知等差数列an的公差为 d(d0),且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8,则 m 等于( ). A.12B.8C.6D.4 解析:a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,a8=8.m=8. 答案:B 4 若数列an是等差数列,a15=8,a60=20,则 a75的值为( ). A.12B.16C.24D.48 解析:an是等差数列, a15,a30,a45,a60,a75成等差数列. 设其公差为 D,则 a60=a15+3D,即 D=4, 故 a75=a15+4D=8+44=24. 答案:C 5 已知数列an是
3、等差数列,若 a1-a5+a9-a13+a17=117,则 a3+a15= . 解析:a1-a5+a9-a13+a17=(a1+a17)-(a5+a13)+a9=a9=117,a3+a15=2a9=2117=234. 答案:234 6 在数列an中,a1,a12是方程 x2 2 5 = 0的两根,若是等差数列,则5 + 8 = . 解析:由题意得 a1+a12= 2, 故 a5+a8=a1+a12= 2. 答案: 2 7 已知在数列an中,a5=10,a12=31,则其公差 d= . 解析:d = 12 - 5 12 - 5 = 31 - 10 7 = 3. 答案:3 8 在等差数列an中,已
4、知 a5=10,a1231,求公差 d 的取值范围. 解设首项为 a1,由题意,可 知 1+ 4 = 10, 1+ 11 31, ? 解得 d3.所以 d 的取值范围是(3,+). 9 已知三个数成等差数列,其和为 15,首末两项的积为 9,求这三个数. 解由题意,可设这三个数分别为 a-d,a,a+d, 则( - ) + + ( + ) = 15, ( - )( + ) = 9, ? 解得 = 5, = 4 ? 或 = 5, = - 4. ? 所以,当 d=4 时,这三个数为 1,5,9; 当 d=-4 时,这三个数为 9,5,1. 所以这三个数为 1,5,9 或 9,5,1. 10 已知数
5、列an,an=2n-1,bn=a2n-1. (1)求bn的通项公式; (2)数列bn是否为等差数列?说明理由. 解(1)an=2n-1,bn=a2n-1, bn=a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3. (2)bn是等差数列.理由如下:由 bn=4n-3,知当 n2 时,bn-1=4(n-1)-3=4n-7. bn-bn-1=(4n-3)-(4n-7)=4. 又 b1=a1=21-1=1, bn是首项 b1=1,公差为 4 的等差数列. 能力提升能力提升 1 设数列an,bn都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37等于( ). A.0B.37C.100
6、D.-37 解析:an,bn都是等差数列, 数列an+bn也是等差数列,设其公差为 d, 则 d=(a2+b2)-(a1+b1)=0. 数列an+bn为常数列. a37+b37=a1+b1=100. 答案:C 2 在如图所示的表格里,每格填上一个数 字后使每一横行和竖列都成等差数列, 则 a 等于( ). A.3B.-3C.0D.6 解析:由于第一行成等差数列,则第一行中间数,则 4+a=22,a=0. 为2 + 6 2 = 4.又第二列成等差数列 答案:C 3 如果在等差数列an中,a5+a6+a7=15,那么 a3+a4+a9等于( ). A.21B.30C.35D.40 解析:a5+a6
7、+a7=(a5+a7)+a6=2a6+a6=3a6=15, 所以 a6=5.所以 a3+a4+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=7a6=35. 答案:C 4 在等差数列an中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则 a6+a7+a8等于( ). A.34B.35C.36D.37 解析:由题意得(a3+a7-a10)+(a11-a4)=12, (a3+a11)+a7-(a10+a4)=12. a3+a11=a10+a4,a7=12. a6+a7+a8=3a7=36. 答案:C 5 若等差数列an满足 a7+a8+a90,a7+a100,则当 n= 时,an的前 n
8、 项和最大. 答案:8 6 若 a,b,c 成等差数列,则二次函数 y=ax2-2bx+c 的图象与 x 轴的交点的个数为 . 解析:a,b,c 成等差数列,2b=a+c. =4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)20. 二次函数 y=ax2-2bx+c 的图象与 x 轴的交点个数为 1 或 2. 答案:1 或 2 7 已知在数列an中,a3=3,a7=1,又数列 1 + 1是等差数列,则 = . 解析:,设 bn 1 + 1是等差数列 = 1 + 1, 则 b3 = 1 3 + 1 = 1 4,7 = 1 1 + 1 = 1 2. 公差 d = 7 - 3 7 - 3 = 1 2
9、- 1 4 4 = 1 16. bn=b3 + 1 16( 3) = 1 4 + 16 3 16 = + 1 16 . 1 + 1 = + 1 16 . an+1 = 16 + 1, = 16 + 1 1 = 15 - + 1. 答案: 15 - + 1 8 已 知1 , 1 , 1 成等差数列,且 + , , + 2均为正数,求证:( + ),( ),( + 2) 也成等差数列. 证明, 1 , 1 , 1 成等差数列 2 = 1 + 1 , 2ac=ab+bc.-2ac=2ac-2b(a+c), -2ac+a2+c2=2ac-2b(a+c)+a2+c2, (a-c)2=(a+c)(a+c-
10、2b). a-c,a+c,a+c-2b 都是正数, 2lg(a-c)=lg(a+c)+lg(a+c-2b). lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列. 9 设数列an是等差数列,bn =(1 2) ,且1 + 2 + 3 =21 8 ,123 = 1 8,求通项公式. 解b1b2b3bn = 1 8 ,又 =(1 2) , (1 2) 1(1 2) 2(1 2) 3 = 1 8. (1 2) 1+ 2+ 3 = 1 8. a1+a2+a3=3. 又an成等差数列, a2=1,a1+a3=2. b1b3 = 1 4,1 + 3 = 17 8 . 1 = 2, 3= 1 8 ? 或1 = 1 8, 3 = 2. ? 1 = - 1, 3= 3 ? 或 1 = 3, 3= - 1. ? 设等差数列an的公差为 d, 当 a1=-1,a3=3 时,d=2, an=-1+2(n-1)=2n-3; 当 a1=3,a3=-1 时,d=-2, an=3-2(n-1)=-2n+5. 综上所述,an=2n-3 或 an=-2n+5.
