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1、第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.抛物线x2=4y的焦点坐标为()A.(0,-1)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,0)答案:B2.“m0”是“方程x23+y2m=1表示椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B3.定义:离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”,已知双曲线C:x24-y212=1,则下列双曲线中与C是“相近双曲线”的为()A.x2-y2=1B.x2-y22=1C.y2-2x2=1D.y
2、29-x272=1解析:易知双曲线C的离心率为2.对于A,双曲线的离心率为2,不符合题意;对于B,双曲线的离心率为3,符合题意;对于C,双曲线的离心率为62,不符合题意;对于D,双曲线的离心率为3,不符合题意.故选B.答案:B4.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为()A.5B.6C.7D.8解析:设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l0,C是AB的中点,分别过点A,B作直线l0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=xA+1+xB+1=xA+xB+2=2xC+2=8.答案:
3、D5.过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A.433B.23C.6D.43解析:双曲线x2-y23=1的两条渐近线方程为y=3x,右焦点为F(2,0),如图.根据题意,由y=3x,x=2,得点A(2,23).同理可得点B(2,-23).所以|AB|=43,故选D.答案:D6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的虚轴的上顶点是A,右焦点是F,O为坐标原点,点P满足AP=12PF,若直线OP 的倾斜角是60,则该双曲线的离心率是()A.2B.2C.43D.233解析:由题意可知点A(0,b),点F(c,0),因为AP=
4、12PF,所以点Pc3,2b3.又因为直线OP的倾斜角是60,所以kOP=2bc=3,4b2=3c2,则a2=c2-b2=c2-34c2=c24,即a=c2,故离心率e=ca=2.答案:B7.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在抛物线x2=y的图象上,则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A.4B.3C.2D.1解析:由已知可得|AB|=22,要使SABC=2,则点C到直线AB的距离必须为2,设点C(x,x2),而lAB:x+y-2=0,所以有|x+x2-2|2=2,所以x2+x-2=2,当x2+x-2=2时,有两个不同的点C;当x2+x-2=-2时,亦有两个不同的点C.因此满足条件的
5、点C有4个,故应选A.答案:A8.设F1,F2是双曲线x23-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,当F1PF2的面积为2时,PF1PF2的值为()A.2B.3C.4D.6解析:设点P(x0,y0),又点F1(-2,0),点F2(2,0),PF1=(-2-x0,-y0),PF2=(2-x0,-y0).|F1F2|=4,SPF1F2=12|F1F2|y0|=2,|y0|=1.又x023-y02=1,x02=3(y02+1)=6,PF1PF2=x02+y02-4=6+1-4=3.答案:B9.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过点M,N与圆C相切的两直线相交于
6、点P,则点P的轨迹方程为()A.x2-y28=1(x1)B.x2-y28=1(x0)D.x2-y210=1(x1)解析:设圆与直线PM,PN分别相切于点E,点F,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NB|=|NF|.|PM|-|PN|=(|PE|+|ME|)-(|PF|+|NF|)=|MB|-|NB|=4-2=2,点P的轨迹是以点M(-3,0),点N(3,0)为焦点的双曲线右支(去掉点B),且a=1,c=3,b2=8,故双曲线方程是x2-y28=1(x1).答案:A10.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B
7、两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1解析:如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.a=2.不妨设点M(0,b),则|30-4b|32+4245,b1.e=ca=1-ba21-122=32.又0e1,00,b0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为.解析:因为双曲线的渐近线方程为y=bax,不妨设k=ba,则k0.因为双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,所以
8、|2k|k2+1=1,解得k=33,即ba=33,所以e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=233.答案:23313.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33,若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切,则椭圆的标准方程为.解析:由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切,得b=22=2.又因为离心率为33,所以a2=3c2=3(a2-2),得a=3,故椭圆的标准方程为x23+y22=1.答案:x23+y22=114.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为23,离心率为e,则a2+e22b的最小值为.解析:由题意,ba
9、=3,b=3a,c=2a,e=2,a2+e22b=a2+423a=a23+23a233(当且仅当a=2时取等号),则a2+e22b的最小值为233.答案:23315.抛物线有光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.如图,已知抛物线y2=2px(p0),一光源在点M处,由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴方向射向抛物线上的点P,反射后射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出,设P,Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1y2=.解析:由抛物线的光学性质知光线PQ必经过抛物线的焦点Fp2,0,当直线PQ的倾斜角不为90时,设
10、PQ的方程为y=kx-p2(k0),即x=1ky+p2,将其代入抛物线方程y2=2px中,整理得y2-2pky-p2=0,则y1y2=-p2.当直线PQ的倾斜角为90时,PQ的方程为x=p2,代入抛物线方程,得y=p,同样可以得到y1y2=-p2.答案:-p2三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知抛物线方程为y2=2x,在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M,N两点,O为坐标原点.若OMON,求直线l的方程.解:设直线l的方程为y=kx+2,由y2=2x,y=kx+2消去x得ky2-2y+4=0.直线l与抛物线相交,k0,=4-16k
11、0,解得kb0)的左、右焦点,M是C上一点,且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解:(1)根据c=a2-b2及题设知点Mc,b2a,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12,ca=-2(舍去).故C的离心率为12.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a=4,即b2=4a.由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设点N(x1,y1),由题意知y10,
12、 则2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1.代入C的方程,得9c24a2+1b2=1.将及c=a2-b2代入得9(a2-4a)4a2+14a=1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=27.18.(9分)(2016北京高考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.(1)解:由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.又c=a2-b2=3,所以离心率e=ca=32.(2)证明设点P(x0,y0)(x00,y00)相交于点B,C,当直线l的斜率是12时,AC=14AB.(1)求抛物线G的方程;(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.解:(1)设点B(x1,y1),点C(x2,y2),由已知当kl=12时,l的方程为y=12(x+4),即x=2y-4.由x2=2py,x=2y-4,得2y2-(8+p
