《2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.1 （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2抛物线的简单几何性质(一)课时过关能力提升基础巩固1.抛物线2y=3x2的准线方程为()A.y=-16B.y=-14C.y=-12D.y=-1答案:A2.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p0)的准线相切,则p=()A.1B.2C.3D.4解析:抛物线y2=2px的准线为x=-p2,圆的标准方程为(x-3)2+y2=42,故圆心为(3,0),半径为4,则3+p2=4.故p=2.答案:B3.如图,已知点Q(22,0)及抛物线y=x24上的动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是()A.2B.3C.4D.22解析:如图,过P作PM垂直抛物线的准线于点M,则由抛物线的定
2、义,可知y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,当且仅当P,F,Q三点共线时,|PF|+|PQ|最小,由F(0,1),Q(22,0),得最小值为|QF|=(22-0)2+(0-1)2=3.故y+|PQ|的最小值为3-1=2.答案:A4.设过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦为AB,则|AB|的最小值为()A.p2B.pC.2pD.无法确定解析:当ABx轴时,|AB|取最小值,最小值为2p.答案:C5.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A.14,24B.18,24C.14,24D.18,24解析:由题意知,点P到焦点F的距离等于它到
3、顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F14,0,所以点P的横坐标为18,代入抛物线方程得y=24,故点P的坐标为18,24,故选B.答案:B6.设抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则OAOB的值是()A.34B.-34C.3D.-3答案:B7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).若x1+x2=6,则|AB|=,解析:直线AB过焦点,|AB|=x1+x2+p=6+2=8.答案:88.已知抛物线y2=2px(p0),直线l经过其焦点且与x轴垂直,并交抛物线于A,B两点,若|AB|=10,P为抛物线的准线上一点,则ABP
4、的面积为.解析:由题意,xA=xB=p2,10=xA+xB+p=2p=10,p=5.又点P到AB的距离为焦点到准线的距离,SABP=12|AB|p=12105=25.答案:259.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为.解析:抛物线的焦点为(1,0),准线方程为x=-1,p=2.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,即x1+x2+p=7,所以x1+x2=5.于是弦AB的中点M的横坐标为52,因此M到抛物线准线的距离为52+1=72.答案:7210.若长为3
5、的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,求点M到y轴的最短距离.解:设抛物线的焦点为F,连接AF,BF,如图,抛物线y2=2x的准线为l:x=-12,过点A,B,M分别作AA,BB,MM垂直于l,垂足分别为点A,B,M.由抛物线定义,知|AA|=|FA|,|BB|=|FB|.又M为AB的中点,由梯形中位线定理,得|MM|=12(|AA|+|BB|)=12(|FA|+|FB|)12|AB|=123=32,则x32-12=1(x为点M的横坐标,当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号),所以xmin=1,即点M到y轴的最短距离为1.能力提升1.如图,F为抛物线y2=4x的焦点,A
6、,B,C在抛物线上,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|等于()A.6B.4C.3D.2解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又F(1,0),且FA+FB+FC=0,x1-1+x2-1+x3-1=0,x1+x2+x3=3.|FA|+|FB|+|FC|=x1+p2+x2+p2+x3+p2=6.答案:A2.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=2|AF|,则AFK的面积为()A.4B.8C.16D.32解析:抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,K(-2,0).设A(x0,y0),如图,过点A
7、向准线作垂线,垂足为B,则B(-2,y0).|AK|=2|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得y02=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,y0=4.AFK的面积为12|KF|y0|=1244=8.答案:B3.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,点F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.0,2C.(2,+)D.2,+)答案:C4.抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角
8、形,则p=.解析:抛物线的准线方程为y=-p2,设A,B的横坐标分别为xA,xB,则|xA|2=|xB|2=3+p42,所以|AB|=|2xA|.又焦点到准线的距离为p,由等边三角形的特点得p=32|AB|,即p2=3443+p42,解得p=6.答案:65.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则A1FB1=.解析:如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,AA1F=AFA1,又AA1F=A1FO,AFA1=A1FO,同理BFB1=B1FO,于是AFA1+BFB1=A1FO+B1FO=A1FB1.故A1FB1
9、=90.答案:906.已知抛物线x2=4y的焦点为F,经过点F的直线与抛物线相交于A,B两点,则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是.解析:直线AB过焦点,以AB为直径的圆与准线y=-1相切,当圆的半径最小时,在x轴上截得弦长最小.又ABy轴时最小,最小值为2p=4,圆半径r=2,圆心即焦点到x轴的距离为1,圆截x轴所得弦长为2r2-1=23.答案:237.如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,求此抛物线的方程.解:过点A,B分别作准线的垂线AA,BD,垂足分别为点A,D,则|BF|=|BD|.又
10、2|BF|=|BC|,在RtBCD中,BCD=30.又|AF|=3,|AA|=3,|AC|=6,|FC|=3.点F到准线的距离p=12|FC|=32.y2=3x.8.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+OB,求的值.解:(1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可简化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-22,y2=42,从而A(1,-22),B(4,42).设OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22),又y32=8x3,即 22(2-1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=0或=2.
