《2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 检测（A） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 检测（A） （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章检测(A) (时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.物体运动的方程为 s = 1 44 3,则 = 5时的瞬时速度为( ) A.5B.25C.125D.625 解析:v=s=t3,t=5 时的瞬时速度为 125. 答案:C 2.函数 y=x2cos x 的导数为( ) A.y=2xcos x-x2sin xB.y=2xcos x+x2sin x C.y=x2cos x-2xsin xD.y=xcos x-x2sin x 解析:y=2xcos x-x2sin x. 答
2、案:A 3.函数 f(x)= 1 33 + 3 22 1 在区间(0,3)内( ) A.是减函数B.是增函数 C.有极大值D.有极小值 解析:f(x)=-x2+3x + 1 2 = (3 ) + 1 2, 当 x(0,3)时,x(3-x)0,即 f(x)0. 故 f(x)在(0,3)内是增函数. 答案:B 4.已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8,则 a=( ) A.9B.6C.-9D.-6 解析:由题意知 y|x=-1=(4x3+2ax)|x=-1=-4-2a=8,则 a=-6.故选 D. 答案:D 5.若曲线 y=x4的一条切线 l 与直线 x+4y-8=
3、0 垂直,则 l 的方程为( ) A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0 解析:与直线 x+4y-8=0 垂直的直线 l 为 4x-y+m=0,即 y=x4在某一点处的导数为 4,而 y=4x3,故 y=x4 在点(1,1)处的导数为 4,曲线 y=x4在此点的切线方程为 4x-y-3=0. 答案:A 6.若函数 f(x)=x2+ax + 1 在( 1 2, + )内是增函数,则的取值范围是( ) A.-1,0B.-1,+) C.0,3D.3,+) 解析:f(x)=2x+a 1 2. f(x), 在(1 2, + )内是增函数 当 x,f(x)0 恒
4、成立, ( 1 2, + )时 即 a,令 g(x) 1 2 2恒成立 = 1 2 2. g(x)= 1 3 2 0,则 x(2k+2,2k+3)(kZ), 当 x=2k+2 时,f(x)取极小值为 f(2+2k)=e2k+2sin(2+2k)-cos(2+2k)=-e2k+2, 故函数 f(x)的各极小值之和为 S=-e2-e4-e2 014= 2(1 - 2 014) 1 - 2 . (注:f(x)在 2 016 处不符合极值定义,故不存在极小值) 答案:D 10.定义在(0,+)内的可导函数 f(x)满足 f(x)x 0的解集为( ) A.(0,2)B.(0,2)(2,+) C.(2,+
5、)D. 解析:令 g(x)g(x) = () ,则 = () - () 2 . f(x)x0. (0,2). () 0的解集为 答案:A 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上) 11.若抛物线 y=x2-x+c 上一点 P 的横坐标为-2,抛物线过点 P 的切线恰好过坐标原点,则 c 的值为 . 解析:y=2x-1,y|x=-2=-5. 又 P(-2,6+c), 6 + - 2 = 5, = 4. 答案:4 12.设函数 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c 是两两不等的常数),则 () + () + () = . 解析:f(x)
6、=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b), f(a)=(a-b)(a-c), 同理 f(b)=(b-a)(b-c),f(c)=(c-a)(c-b),代入原式中得值为 0. 答案:0 13.若曲线 f(x)=ax3+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 . 解析:f(x)=3ax2y 轴的切线,即 3ax2 + 1 ( 0),若函数存在垂直于 + 1 = 0有解, 故 a= 1 33. x0, 1 33 0 恒成立,故 =(-4a)2-432a=16a2-24a0 的解集是x|002x-x2000,f(x)单调递增, 2)和( 2, + )内2,
7、 2)内 f(,f,故正确. 2)是极小值 ( 2)是极大值 由题意知,f,且无最小值,故错误,正确. ( 2)为最大值 答案: 三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(8 分)已知函数 f(x)=ax3+x2(aR)在 x= 4 3处取得极值. (1)确定 a 的值; (2)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性. 解:(1)对 f(x)求导得 f(x)=3ax2+2x, 因为 f(x)在 x=, 4 3处取得极值 所以 f( - 4 3) = 0, 即 3a 16 9 + 2(- 4 3) = 16 3 8 3 = 0,
8、 解得 a = 1 2. (2)由(1)得 g(x) =(1 2 3 + 2), 故 g(x) =(3 2 2 + 2) +(1 2 3 + 2) =(1 2 3 + 5 2 2 + 2) = 1 2( + 1)( + 4). 令 g(x)=0,解得 x=0,x=-1 或 x=-4. 当 x0,故 g(x)为增函数; 当-10 时,g(x)0,故 g(x)为增函数. 综上知 g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数. 17.(8 分)设 L 为曲线 C:y = 在点(1,0)处的切线. (1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线
9、 C 在直线 L 的下方. (1)解:设 f(x)f(x) = ,则 = 1 - 2 . 因为 f(1)=1, 所以 L 的方程为 y=x-1. (2)证明令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)0(x0,x1). g(x)满足 g(1)=0,且 g(x)=1-f(x) = 2- 1 + 2 . 当 01 时,x2-10,ln x0, 则 g(x)0,即 g(x)单调递增. 因此 g(x)g(1)=0(x0,x1). 故除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 18.(9 分)已知 f(x)=-ax+x3,xR. (1)当 x=1 时,f(x
10、)取得极值,证明:对任意 x1,x2-1,1,不等式|f(x1)-f(x2)|4 恒成立; (2)若 f(x)是1,+)内的单调函数,求实数 a 的取值范围. (1)证明f(x)=3x2-a,且 x=1 是 y=f(x)的一个极值点, f(1)=3-a=0,a=3. f(x)=3x2-3,f(x)=x3-3x. 当-11 时,g(x)0; (3)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立. (1)解:f(x)=2ax 1 = 22 - 1 ( 0). 当 a0 时,f(x)0 时,由 f(x)=0 有 x = 1 2. 当 x,f(x)0,f(x)单调递增. (
11、1 2, + )时 (2)证明令 s(x)=ex-1-x,则 s(x)=ex-1-1. 当 x1 时,s(x)0,所以 ex-1x, 从而 g(x) = 1 1 - 1 0. (3)解:由(2),当 x1 时,g(x)0. 当 a0,x1 时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有 a0. 当 0 1. 由(1) 有 ( 1 2) 0, 所以此时 f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立. 当 a,令 h(x)=f(x)-g(x)(x1). 1 2时 当 x1 时,h(x)=2ax 1 + 1 2 1 1 + 1 2 1 = 3- 2 + 1 2 2- 2
12、 + 1 2 0. 因此,h(x)在区间(1,+)单调递增. 又因为 h(1)=0,所以当 x1 时,h(x)=f(x)-g(x)0,即 f(x)g(x)恒成立. 综上,a 1 2, + ). 20.(10 分)已知函数 f(x)=-2a2ln xR). + 1 22 + ( (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 a0, 故 f(x)在(0,+)内单调递增; 当 a0 时,由 f(x)0,得 xa 或 x0,得 x-2a 或 xa(舍去). 故 f(x)在(0,-2a)内单调递减,在(-2a,+)内单调递增. (2)由(1)知,当 a0 时,f(x)在(0,-2a)内单调递减,在(-2a,+)内单调递增. 当-2ae,即 a,f(x)在1,e上单调递减,故 f(x)min=f(e)=-2a2 2时 + 1 22 + . 当-2a1,a0 时,f(x)在1,e上单调递增,故 f(x)min=f(1)=a 即 1 2 + 1 2. 当 1-2ae,f(x)在(1,-2a)内单调递减,在(-2a,e)内单调递增, 即 2 1 2时 故 f(x)min=f(-2a)=-2a2ln(-2a).
