《2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 检测（A） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 检测（A） （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为 ()A.(x-1)2+y2=6425B.x2+(y-1)2=6425C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-1)2=1答案:C2.已知抛物线C1:y=2x2与抛物线C2关于直线y=-x对称,则抛物线C2的准线方程是()A.x=-18B.x=12C.x=18D.x=-12解析:抛物线C1:y=2x2关于y=-x对称的抛物线C2
2、的解析式为-x=2(-y)2,即y2=-12x,故C2的准线方程为x=18.答案:C3.一根竹竿长为2米,竖直放在广场的水平地面上,在t1时刻测得它的影长为4米,在t2时刻测得它的影长为1米.这个广场上有一个球形物体,它在地面上的影子是椭圆,则在t1,t2这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为()A.11B.21C.31D.21解析:根据题意,球形物体的高度一定,可设为h.则t1时刻影子椭圆的长轴长2a=2h,短轴长2b=h,c2=a2-b2=h2-h24=34h2,e1=ca=32hh=32.t2时刻影子椭圆的长轴长为2a=h,短轴长2b=h2,则c2=a2-b2=h24-
3、h216=316h2,c2a2=316h2h24=34.e2=ca=32.e1e2=11.答案:A4.已知动点P到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为23(1),则点P轨迹的离心率的取值范围为()A.33,1B.33,32C.0,33D.32,1解析:由题意,23|F1F2|=2,点P的轨迹是椭圆,其中a=3,c=1.e=1313.故选C.答案:C5.若双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53解析:双曲线的渐近线方程为y=bax,且过点(3,-4),-4=-ba3,ba=43.离心率e=1+ba2=1+
4、432=53,故选D.答案:D6.已知P,Q是椭圆9x2+16y2=1上的两个动点,O为坐标原点,若OPOQ,则点O到弦PQ的距离必等于()A.1B.34C.15D.145解析:考虑弦PQ垂直于x轴时,OPOQ,且|OP|=|OQ|,所以OPQ为等腰直角三角形.故有|xP|=|yP|,代入椭圆方程,有9xP2+16xP2=1,解得 |xP|=15,即点O到弦PQ的距离为15.答案:C7.已知AB为过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的中心的弦,F1为一个焦点,则ABF1的最大面积是(c为半焦距)()A.acB.abC.bcD.b2解析:ABF1的面积为c|yA|,因此当|yA|最大,即|yA
5、|=b时,面积最大.答案:C8.已知点F,A分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点、右顶点,点B(0,b)满足FBAB=0,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.1+32D.1+52解析:FBAB=0,FBAB.b2=ac.又b2=c2-a2,c2-a2-ac=0.两边同除以a2,得e2-1-e=0e=1+52.答案:D9.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22
6、(x-1)答案:C10.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的标准方程为()A.y2=-4xB.y2=4xC.x2=4yD.x2=-4y解析:过焦点Fp2,0且斜率为1的直线方程为y=x-p2,与抛物线方程联立,可得y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p=4.所以p=2,故抛物线的标准方程为y2=4x.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是.答案:212.已知点P(a,0),若抛物线y2=4x上任一点Q都满足|PQ|a|,
7、则a的取值范围是.解析:设Q(x,y),则y2=4x(x0).|PQ|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+4x=x2+2(2-a)x+a2a2.x2+2(2-a)x0.x0,x+2(2-a)0,a2+x2.又x0,a2.答案:(-,213.在平面直角坐标系中,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2,以O为圆心,a为半径作圆,过点a2c,0所作圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率e=.解析:设点Ma2c,0,两个切点分别为P,Q.因为|MP|=|MQ|,MPMQ,所以四边形MPOQ是正方形.又因为c=1,所以a212=2a2.整理,得a=2.故e=12=22.答案:2214.过双曲线C
8、:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.解析:不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y=ba(x-c),与C交于P(x0,y0).x0=2a,y0=ba(2a-c).又P(x0,y0)在双曲线C上, (2a)2a2-b2a2(2a-c)2b2=1,整理得a2-4ac+c2=0,设双曲线C的离心率为e,故1-4e+e2=0.e1=2-3(舍去),e2=2+3.即双曲线C的离心率为2+3.答案:2+315.方程x24-t+y2t-1=1表示曲线C,给出以下命题:曲线C不可能为圆;若曲线C为椭圆,则1t4;若曲线C为双曲
9、线,则t4;若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1t0,4-t0,4-tt-1,即1t4,且t52,故错;中若曲线为双曲线,则(4-t)(t-1)4或t0,所以只能取x=32,于是y=532,故点P的坐标是32,532.17.(8分)如图,F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,F1AF2=60.(1)求椭圆C的离心率;(2)已知AF1B的面积为403,求a,b的值.解:(1)由题意可知,AF1F2为等边三角形,a=2c,所以e=12.(2)(方法一)a2=4c2,b2=3c2.直线AB的方程可为y=-3(x-c)
10、.将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2, 得B85c,-335c.所以|AB|=1+385c-0=165c.由SAF1B=12|AF1|AB|sinF1AB=12a165c32=235a2=403,解得a=10,b=53.(方法二)设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a.由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t.再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60,可得t=85a.由SAF1B=12a85a32=235a2=403,知a=10,b=53.18.(9分)如图,已知抛物线C1:x2+by=b2经过椭圆C2:x2a2+y2b2=1
11、(ab0)的两个焦点.(1)求椭圆C2的离心率;(2)设点Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.解:(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),所以c2+b0=b2,即c2=b2.因为a2=b2+c2=2c2,所以椭圆C2的离心率e=22.(2)由(1)可知a2=2b2,椭圆C2的方程为x22b2+y2b2=1.联立抛物线C1的方程x2+by=b2,得2y2-by-b2=0,解得y=-b2或y=b(舍去),所以x=62b, 即M-62b,-b2,N62b,-b2.所以QMN的重心坐标为(1,0)
12、.因为重心在C1上,所以12+b0=b2,得b=1.则a2=2.所以抛物线C1的方程为x2+y=1,椭圆C2的方程为x22+y2=1.19.(10分)(2016山东高考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为4,焦距为22.(1)求椭圆C的方程;(2)过动点M(0,m)(m0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.设直线PM,QM的斜率分别为k,k,证明kk为定值;求直线AB的斜率的最小值.(1)解:设椭圆的半焦距为c.由题意知2a=4,2c=22,所以a=2,b=a2-c2=2.所以椭圆
13、C的方程为x24+y22=1.(2)证明设点P(x0,y0)(x00,y00).由点M(0,m),可得点P(x0,2m),点Q(x0,-2m).所以直线PM的斜率k=2m-mx0=mx0,直线QM的斜率k=-2m-mx0=-3mx0.此时kk=-3.所以kk为定值-3.解:设点A(x1,y1),点B(x2,y2).直线PA的方程为y=kx+m,直线QB的方程为y=-3kx+m.联立y=kx+m,x24+y22=1,整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.由x0x1=2m2-42k2+1,可得x1=2(m2-2)(2k2+1)x0,所以y1=kx1+m=2k(m2-2)(2k2+1)x0+m,同理x2=2(m2-2)(18k2+1)x0,y2=-6k(m2-2)(18k2+1)x0+m.所以x2-x1=2(m2-2)(18k2+1)x0-2(m2-2)(2k2+1)x0=-32k2(m2-2)(18k2+1)(
