《2018秋新版高中数学北师大版必修5习题：第三章不等式 3.4.3 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学北师大版必修5习题：第三章不等式 3.4.3 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.3 简单线性规划的应用 课时过关能力提升 1.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 t、B 原料 2 t;生产每 吨乙产品要用 A 原料 1 t、B 原料 3 t.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可 获得利润 3 万元.该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 t,B 原料不超过 18 t,那 么该企业可获得的最大利润是( ) A.12 万元B.20 万元C.25 万元D.27 万元 解析:设甲、乙两种产品各生产 x t,y t,获得利润为 z 万元,由题意知目标函 3 + 13, 2 + 3 18, 0, 0, ? 数 z=5x+3y.不等
2、式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.作直线 l0:5x+3y=0,当平移 l0至点 M 时,z 取得最大值. 由得 M(3,4),故 zmax=53+34=27.故选 D. 3 + = 13, 2 + 3 = 18, ? 答案:D 2.某研究所计划利用“神舟”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品 A,B,该研究 所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安 排,通过调查,有关数据如下表: 产品 A(件) 产品 B(件) 研制成本与搭载费用之 和(万元/件) 2030 计划最大投资金额 300 万元 产品质量(kg/件)105 最大搭载质量 110 kg
3、预计收益(万元/件)8060 若合理安排这两种产品的件数进行搭载,使总预计收益达到最大,则最大收益是( ) A.480 万元B.960 万元C.570 万元D.1 080 万元 解析:设搭载 A 产品 x 件,B 产品 y 件,预计收益 z=80x+60y. 则作出可行域,如图阴影部分中的整数点. 20 + 30 300, 10 + 5 110, +, +, ? 作出直线 l0:4x+3y=0 并平移,由图像得,当直线经过点 M 时,z 取最大值, 由 2 + 3 = 30, 2 + = 22, ? 得即 M(9,4). = 9, = 4, ? 所以 zmax=809+604=960(万元).
4、 故搭载 A 产品 9 件,B 产品 4 件,可使得总预计收益最大,为 960 万元. 答案:B 3.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 公顷,投入资金不超过 54 万元,假设种 植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表: 年产量/公 顷 年种植成本/公 顷 每吨售 价 黄 瓜 4 t1.2 万元 0.55 万 元 韭 菜 6 t0.9 万元0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植 面积(单位:公顷)分别为( ) A.50,0B.30,20 C.20,30D.0,50 解析:设黄瓜、韭菜的种植面积分别为 x 公顷,y 公顷,则总利润
5、 z=40.55x+60.3y-1.2x- 0.9y=x+0.9y. 此时 x,y 满足条件作出可行域如图阴影部分所示,得最优解为 + 50, 1.2 + 0.9 54, +, +, ? A(30,20).故选 B. 答案:B 4.某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项 目乙投资的 ,且对每个项目的投资不能低于 5 万元,对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 2 3 万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在两 个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36 万元B.31.2 万元 C.30.4 万元D.2
6、4 万元 解析:设投资甲、乙两项目分别为 x 万元、y 万元,利润为 z, 则z=0.4x+0.6y. + = 60, 2 3 , 5, 5, ? 当 x=24,y=36 时,zmax=31.2 万元. 答案:B 5.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱 原料需耗费工时 10 h,可加工出 7 kg A 产品,每千克 A 产品获利 40 元;乙车间加工一箱 原料需耗费工时 6 h,可加工出 4 kg B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天 共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 h,甲、乙
7、 两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 解析:设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱,由题意可知 + 70, 10 + 6 480, 0, , 0, . ? 甲、乙两车间每天总获利为 z=280x+200y. 作出可行域如图阴影部分中的整数点. 点 M(15,55)为直线 x+y=70 和直线 10x+6y=480 的交点,由图像知,在点 M(15,55)处 z
8、 取得最大值. 答案:B 6.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 t 每种产品所需原料及 每天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 t 甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则 该企业每天可获得最大利润为( ) 甲乙原料限额 A/t 3212 B/t 128 A.12 万元B.16 万元C.17 万元D.18 万元 解析:设该企业每天生产甲、乙两产品分别为 x t、y t,由题意知,x,y 需满足约束条件 每天可获得利润 z=3x+4y. 3 + 2 12, + 2 8, 0, 0, ? 由约束条件画出可行域,如图所示,l0:y=- x,平移 l0过点 C,
9、使 z 取得最大值. 3 4 由得 C(2,3), 3 + 2 = 12, + 2 = 8, ? 故 zmax=6+12=18(万元). 答案:D 7.某工厂有甲、乙两种产品,按计划每天各生产不少于 15 t.已知生产甲产品 1 t 需煤 9 t, 电力 4 kWh,劳动力 3 个(按工作日计算);生产乙产品 1 t 需煤 4 t,电力 5 kWh,劳动力 10 个.甲产品每吨价 7 万元,乙产品每吨价 12 万元.但每天用煤量不得超过 300 t,电力不得 超过 200 kWh,劳动力只有 300 个,当每天生产甲产品 t,乙产品 t 时,既能保证完成生产任务,又能使工厂每天的利润最大. 解
10、析:设每天生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,总利润为 S 万元,依题意约束条件为 9 + 4 300, 4 + 5 200, 3 + 10 300, 15, 15. ? 目标函数为 S=7x+12y,作出可行域如图阴影部分所示, 当直线 S=7x+12y 经过点 A 时,直线的纵截距最大,所以 S 也取最大值. 解方程组得 A(20,24), 4 + 5 - 200 = 0, 3 + 10 - 300 = 0, ? 故当 x=20,y=24 时,Smax=720+1224=428(万元). 答案:20 24 8.某厂准备生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3 千元、2 千元.甲、乙产
11、 品都需要在 A,B 两种设备上加工,在每台 A,B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为 1 h、2 h,加工一件乙产品所需工时分别为 2 h、1 h,A,B 两种设备每月有效使用时数分别 为 400 和 500.如何安排生产可使月收入最大? 解:设甲、乙两种产品的产量分别为 x 件,y 件,约束条件是目标函数是 + 2 400, 2 + 500, 0, , 0, . ? z=3x+2y,要求出适当的 x,y,使 z=3x+2y 取得最大值. 作出可行域如图阴影部分中的整数点. 将 z=3x+2y 变形为 y=- x+ , 3 2 2 由图可知,当直线过点 A 时, 目标函数 z 取得最大值,
12、 由 + 2 = 400, 2 + = 500, ? 得 = 200, = 100. ? 所以 zmax=3x+2y=3200+2100=800(千元), 800 千元=80 万元. 故甲、乙两种产品每月分别生产 200 件、100 件时,可得最大收入 80 万元. 9.某厂用甲、乙两种原料生产 A,B 两种产品,已知生产 1 t A 产品、1 t B 产品分别需 要的甲、乙原料数,可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示: 所需原料 产品 原料 A 产品(1 t) B 产品(1 t) 总原料/t 甲原料/t2510 乙原料/t6318 利润/万元 43 在现有原料下,A,B 产品应各生产多少才能使利润总额最大? 解:设生产 A,B 两种产品分别为 x t,y t,其利润总额为 z 万元. 根据题意,得约束条件为 2 + 5 10, 6 + 3 18, 0, 0. ? 目标函数 z=4x+3y. 作出可行域如图阴影部分所示. 作直线 l0:4x+3y=0,平移直线 l0经过点 P 时,z=4x+3y 取得最大值. 由 2 + 5 = 10, 6 + 3 = 18, ? 得 P. ( 5 2 ,1 ) 所以 zmax=4 +31=13(万元). 5 2 故生产 A 产品 2.5 t,B 产品 1 t 时,总利润最大为 13 万元.
