《2018秋新版高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量 2.5.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量 2.5.1 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5 平面向量应用举例平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 在平行四边形 ABCD 中ab,且(a+b)2=(a-b)2,则平行四边形 ABCD 是( ) , = , = A.菱形B.矩形 C.正方形D.以上都不对 解析:(a+b)2=(a-b)2,(a+b)2-(a-b)2=0, (a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b)=0, 4ab=0,ab,ABAD, 平行四边形 ABCD 是矩形. 答案:B 2 在ABC 中,C=90, = (,1), = (2,3),则的值是( ) A.5B.-5C. 3 2. 3 2 解析:由题意,得 =
2、 = (2,3) (,1) = (2 ,2). C=90, , = 0. 2(2-k)+32=0.k=5. 答案:A 3 在ABC 中,若ABC 为( ) ( + )( ) = 0,则 A.正三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.形状无法确定 解析:( + )( ) = 0, 2 2= 0,2= 2. CA=CB,ABC 为等腰三角形. 答案:C 4 在四边形 ABCD 中,0 若 + = , = 0,则四边形为( ) A.平行四边形B.矩形 C.等腰梯形D.菱形 解析:0, + = = , 四边形 ABCD 是平行四边形. 又 = 0, . 该平行四边形是菱形. 答案:D 5 点 O 是A
3、BC 所在平面内的一点,满ABC 的( ) 足 = = ,则点是 A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高线的交点 解析:由 = ,得 = 0, ( ) = 0,即 = 0. .同理可证 , . OBCA,OACB,OCAB,即点 O 是ABC 的三条高线的交点. 答案:D 6 在四边形 ABCD 中,若 = 0, = ,则四边形一定是( ) A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形 解析:DC,且 AB=DC, = , 四边形 ABCD 是平行四边形. ABAD, 又 = 0, ,即 四边形 ABCD 是矩形. 答案:C 7 过点 A(1,2),且
4、平行于向量 n=(2,1)的直线方程为( ) A.x-2y-3=0B.x-2y+3=0 C.2x-y+3=0D.以上都不正确 解析:设直线上一点 P(x,y), 则 = ( 1, 2). n,2(y-2)-(x-1)=0, 即 x-2y+3=0. 答案:B 8 在ABC 中,已知| = | = 4,且 = 8,则这个三角形的形状是 . 答案:等边三角形 9ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1, = 1 2( + ),且| = |,求的值. 解设 BC 的中点是 D,如图, 则 + = 2, 则 = , 所以 O 和 D 重合,所以 BC 是圆 O 的直径, 所以BAC=90. 又| = |
5、,则| = 1,| = 2, 所以ABC=60, 所60 以 = | =12 1 2 = 1. 10 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上,取点 F,E,使 BE=DF(如图).用向量法证明四边形 AECF 也是平行四边形. 分析转化为证明 AEFC,且 AE=FC,即只需证. 明 = 即可 证明 = + , = + , AE,FC 平行且相等. 又 = , = , = ,即 四边形 AECF 是平行四边形. 能力提升能力提升 1 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2, = 2,点为的中点,点在边上,若 =2,则的值是( ) A.2B. 2 C.-2D. 2 解析:
6、由 = 2,得( + ) =2, 即 + =2, 又 , = 0, =2, 故 = ( + )( + ) = + + + = 0 + ( ) + 1 2 |2 + 0 = + 2 =2 |2 + 2 =2 2 + 2 =2. 答案:B 2 已知直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点,且|AB|= 3,则 = ( ) A. 3.1. 1 2. 1 2 解析:如图,ABD 为 AB 的中点,又 OA=1, = 3,取 AODAOB = 3. = 2 3 . = 1 1 2 3 = 1 2 . 答案:D 3 在 RtABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线
7、段 CD 的中点, 则| 2+ |2 |2 = ( ) A.2B.4C.5D.10 解析:将ABC 各边及 PA,PB,PC 均用向量表示, 则| 2+ |2 |2 = 2+ 2 2 = ( + )2+ ( + )2 2 = 22+ 2 + 2 + 2+ 2 2 = 2|2+ 2( + ) + 2 |2 = |2 |2 6 = 42 6 = 10. 答案:D 4 已知在ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD 为 BC 边上的高,则点 D 的坐标为 . 解析:设点 D 的坐标为(x,y), 则 = ( 3, 1) (3,2) = ( 6, 3), = (,) (2, 1
8、) = ( 2, + 1), = (,) (3,2) = ( 3, 2). 由 , , 得 - 6 ( - 2) - 3( + 1) = 0, - 6 ( - 2) - ( - 3)( - 3) = 0, ? 整理得 2 + = 3, - 2 = - 1, ? 解得 = 1, = 1, ? 点 D 的坐标为(1,1). 答案:(1,1) 5 已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 P 为对角线 AC 上一点,则( + )( + )的最大值为 . 解析:如图,ab, 设 = , = , = 则 ab=0b-a, , = a+b),其中 x0,1, = = ( 所a-x(a+b)=(1-x)a-x
9、b, 以 = = b-x(a+b)=-xa+(1-x)b, = = 所a+b)+b-a(1-x)a-xb-xa+(1-x)b=(x-1)a+(x+1)b(1-2x)a+(1-2x)b=-16x2+8x=- 以( + )( + ) = ( 16( - 1 4) 2+ 1, 由于 x0,1,则-11. 6( - 1 4) 2+ 1的最大值为 答案:1 6 在ABC 中,C=90,D 是 AB 的中点,用向量法证明 CD = 1 2. 分析找一组基底,分别表示和,转化为证明| = 1 2|. 证明如图,ab,则 a 与 b 的夹角为 90,ab=0. 设 = , = b-aa+b), 又 = , =
10、 1 2( a+b| | = 1 2| = 1 2 ( + )2 = 1 2 |2+ 2 + |2= 1 2 |2+ |2, b-a| | = | = ( - )2 = |2- 2 + |2=|2+ |2. | = 1 2|, = 1 2. 7 在ABCD 中,AC=BD,求证:四边形 ABCD 是矩形. 分析,转化为证 以和为基底明 . 证明ab, 设 = , = 由于四边形 ABCD 是平行四边形, a+bb-a. = + =, = = AC=BD,|a+b|=|b-a|. |a+b|2=|b-a|2. |a|2+2ab+|b|2=|b|2-2ab+|a|2, ab=0.ab, AD. 即
11、 . 故四边形 ABCD 是矩形. 8 用向量的方法证明:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角. 证明如图,作向ab 作为基底,由菱形性质得|a|=|b|. 量,选 = , = 于是,由平行四边形法则a+ba-b, 得 =, = a+b)(a-b)=|a|2-|b|2=0, 则 = ( , 即 ACDB,得菱形两条对角线互相垂直. 设DAC=1,BAC=2, 由向量数量积的定义得 cos1 = | = ( + ) | + | = + |2 | + | , cos2 = | = ( + ) | + | = |2+ | + | . |a|=|b|,ab=ba, cos1=cos2. 01180,0
