《2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.2 （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2 抛物线的简单几何性质(二) 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1.已知直线 y=kx-k 及抛物线 y2=2px(p0),则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 解析:直线 y=kx-k=k(x-1), 直线过点(1,0). 又点(1,0)在抛物线 y2=2px 的内部, 当 k=0 时,直线与抛物线有一个公共点; 当 k0 时,直线与抛物线有两个公共点. 答案:C 2.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取
2、 值范围为( ) A. - 1 2, 1 2. 2,2 C.-1,1D.-4,4 解析:设过点 Q 的直线 l 的方程为 y=k(x+2), 联立抛物线方程与直线方程, 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0. 当 k=0 时,显然满足;当 k0 时, 因为 l 与抛物线有公共点, 所以 0,即 k21,且 k0. 综上所述,-1k1. 答案:C 3.若过点(1,0)作斜率为-2 的直线,与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为( ) A.2 13.2 15.2 17.2 19 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意知 AB 的方程为 y=-2(x-1)
3、, 即 y=-2x+2. x2-4x+1=0, 由 2= 8, = - 2 + 2, ? 得 则 x1+x2=4,x1x2=1. 故|AB| =(1 + 2 )( 1+ 2) 2 - 4 12 =(1 + 4)(16 - 4) =5 12 = 2 15. 答案:B 4.若抛物线 y2=2px 截直线 y=x+1 所得弦长为2 6,则此抛物线的方程为( ) A.y2=2xB.y2=6x C.y2=-2x 或 y2=6xD.以上都不对 解析:x2+(2-2p)x+1=0. 由 = + 1, 2= 2, ? 得 x1+x2=2p-2,x1x2=1. 则2 6 = 1 + 12 (1+ 2)2 - 4
4、 12 =2 (2 - 2)2 - 4. 解得 p=-1 或 p=3, 故抛物线方程为 y2=-2x 或 y2=6x. 答案:C 5.已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦 点为 F,则直线 BF 的斜率为( ) A. 1 2. 2 3. 3 4. 4 3 解析:由题意可知准线方程 x= 2 = 2, p=4,抛物线方程为 y2=8x.由已知易得过点 A 与抛物线 y2=8x 相切的直线斜率存在,设为 k, 且 k0,则可得切线方程为 y-3=k(x+2).联立方x 得 ky2-8y+24+16k=0.(*) 程
5、 - 3 = ( + 2), 2= 8, ? 消去 由相切得 =64-4k(24+16k)=0,解得 kk=-2(舍去),代入(*)解得 y=8,把 y=8 代入 y2=8x,得 = 1 2或 x=8,即切点 B 的坐标为(8,8), 又焦点 F 为(2,0),故直线 BF 的斜率为 4 3. 答案:D 6.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cosAFB 等于( ) A. 4 5. 3 5. 3 5. 4 5 解析:x2-5x+4=0, 由 2= 4, = 2 - 4, ? 得 x=1 或 x=4. 不妨设 A(4,4),B(1,-2
6、),(0,-2)=-8. 则| = 5,| = 2, = (3,4) cosAFB = | = - 8 10 = 4 5. 答案:D 7.已知直线 x-y+1=0 与抛物线 y=ax2相切,则 a= . 解析:ax2-x-1=0. 由 - + 1 = 0, = 2, ? 得 a0,=1+4a=0,a= 1 4. 答案: 1 4 8.直线 y=x-1 被抛物线 y2=4x 截得的线段的中点坐标是 . 解析:将 y=x-1 代入 y2=4x, 整理,得 x2-6x+1=0. 由根与系数的关系,得 x1+x2=6, 1+ 2 2 = 3, 则 1+ 2 2 = 1+ 2 - 2 2 = 6 - 2
7、2 = 2. 故所求点的坐标为(3,2). 答案:(3,2) 9.求抛物线 y=4x2上到直线 y=4x-5 的距离最短的点的坐标. 解:由 y=4x2与 y=4x-5 不相交,设与 y=4x-5 平行的直线方程为 y=4x+m. 4x2-4x-m=0. 则 = 42, = 4 + ? 设此直线与抛物线相切,则 =0, 即 =16+16m=0,解得 m=-1. 将 m=-1 代入式,得 x = 1 2, = 1, 所求点的坐标为( 1 2 ,1 ). 10.已知过点 A(-2,-4)作倾斜角 为 4的直线,交抛物线2 = 2( 0)于,两点,且|,|,|成等比数列,求抛物线的方程. 解:由题意
8、,知 MN 的方程为 y=x-2. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), x,得 y2-2py-4p=0, 由 = - 2, 2= 2 ? 消去 故 y1+y2=2p,y1y2=-4p. |AM|AN|=|MN|2, 且|AM|= 2(1 + 4),| =2(2 + 4),| =2|1 2|, (y1+4)(y2+4)=(y1-y2)2, 即 5y1y2+4(y1+y2)+16=(y1+y2)2, 则 p2+3p-4=0,解得 p=1 或 p=-4(舍去). 故所求抛物线的方程为 y2=2x. 能力提升能力提升 1.抛物线 y=ax2与直线 y=kx+b(k0)交于 A,B 两点,且此两点
9、的横坐标分别为 x1,x2,直线与 x 轴交点的 横坐标是 x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0 解析:联ax2-kx-b=0,x1+x2 立 = 2, = + , ? 则 = ,12 = ,3 = .又 = ( - ), 即 x1x2=(x1+x2)x3=x1x3+x2x3,选项 B 正确. 答案:B 2.若抛物线 y2=x 上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+b 对称,且 y1y2=-1,则实数 b 的值为( ) A.-3B.3C.2D.-2 解析:由题意知直线 AB
10、与直线 y=x+b 垂直, 设直线 AB 的方程为 y=-x+m,代入 y2=x,得 y2+y-m=0.y1y2=-m.又 y1y2=-1, m=1.设线段 AB 的中点 M(x0,y0),则 y0 = 1+ 2 2 = 1 2,0 = 1+ 2 2 = 1 - 1+ 1 - 2 2 = 1 1+ 2 2 = 3 2. 点 M 在直线 y=x+b 上, 1 2 = 3 2 + , = 2. 答案:D 3.已知直线 y=k(x+2)(k0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则 k 等于( ) A. 1 3. 2 3 .2 3. 2 2 3
11、 解析:把 y=k(x+2)代入 y2=8x,得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0(k0). 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2=4. |FA|=x1+2,|FB|=x2+2,且|FA|=2|FB|, x1=2x2+2. 又 x1x2=4,x2=1(负值舍去). B(1,y=k(x+2),得 k 2 2),代入 = 2 2 3 . 答案:D 4.已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧 ABO 与AFO 面积之和的最小值是( ) , = 2(其中为坐标原点),则 A.2B.3C. 17 2 8 . 10 解析:设 AB 所在直线
12、方程为 x=my+t. x,得 y2-my-t=0. 由 = + , 2= ? 消去 设 Ay10,y2 2或 2. 答案:(-, 2) ( 2, + ) 6.若 A,B 是抛物线 x2=y 上任意两点(非原点),则 kOB为 . 当最小时,所在两条直线的斜率之积 解析:AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入 x2=y,得 x2-kx-b=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1x2=-b.y1y2 = 2 1 2 2= 2, = 12 + 12 = + 2 =( - 1 2) 2 1 4 1 4, 当且仅当 b,取“=”. = 1 2时 则 kOA
13、kOB = 1 1 2 2 = 12 = = 1 2. 答案: 1 2 7.已知 A,B 为抛物线 y2=2px(p0)上的两点,O 为原点,若 OAOB,求证:直线 AB 过定点. 证明设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 OAOBx1x2+y1y2=0, 点 A,B 在抛物线上 2 1 2 2= 4212, 1 2= - 4 2, 1 2= 4 2. ? lAB:y-y1 = 2 1+ 2( 1), y-y1 = 2 1+ 2( - 2 1 2), y = 2 1+ 2 2 1 1+ 2 + 1 = 2 1+ 2 42 1+ 2 = 2 1+ 2( 2), 直线 AB 过定点(2p
14、,0). 8.已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程. (2)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都 有 0). 足 ( - 1)2+ 2 = 1( 0).化简得 (2)设过点 M(m,0)(m0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). 设 l 的方程为 x=ty+m,由 = + , 2= 4, ? 得 y2-4ty-4m=0,=16(t2+m)0, 于 是1 + 2= 4, 12= - 4. ? = (1 1,1), = (2 1,2). (x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y20. 0 又 x等价于 = 2 4 ,于是不等式 2 1
