《2018秋新版高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量 检测A 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量 检测A （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章检测(A) (时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1 若四边形 ABCD 是矩形,则下列命题不正确的是( ) A.与共线 B.与相等 C.与模相等,方向相反 D.与模相等 答案:B 2 已知 A(1,2),B(3,-1),C(3,4),则等于( ) A.11B.5 C.-1D.-2 解析: = (2, 3), = (2,2),则 = 2 2 3 2 = 2. 答案:D 3 已知向量 a=(1,m),b=(m,2),若 ab,则实数 m 等于( ) A. 2. 2 C.
2、 2或 2.0 解析:由 ab 知 12-m2=0,即 m= 2或 2. 答案:C 4 若向量 a=(1,-2)与 b 的夹角是 180,且|b|=b 等于( ) 3 5,则 A.(-3,6)B.(3,-6) C.(6,-3)D.(-6,3) 解析:由于向量 a,b 的夹角为 180,可设 b=a=(1,-2)=(,-2),其中 0,又|b|= =3,又 0,所以 =-3,所以 b=(-3,6). 3 5,则2+ 42= 3 5,解得 答案:A 5 在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
3、C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 解析:由平面向量基本定理可知,平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,A 中 e1=0e2,B 中 e1,e2为两个不共线向量,C 中 e2=2e1,D 中 e2=-e1.故选 B. 答案:B 6 已知 M 是平行四边形 ABCD 对角线的交点,下列四个式子不能化简为的是( ) A. + + B. + + + C. + D. + 解析: + + = + + = , 选项 A 错; 0B 错; + + + = + ( + + ) = += , 选项 C 错; + = + + = + + = , 选项
4、 + = + = 2 + = + = . 答案:D 7 下列说法正确的个数为( ) + + + + = ; 已知向量 a=(6,2)与 b=(-3,k)的夹角是钝角,则 k 的取值范围是 k9; 向量 e1=(2,-3),e2 =(1 2, - 3 4)能作为平面内所有向量的一组基底; 若 ab,则 a 在 b 上的投影为|a|. A.1B.2C.3D.4 解析:正确;由 ab0,得 k9,由 ab,得 k=-1,此时,a=-2b,k9,且 k-1,故错; e1=4e2,e1与 e2共线,不能作为基底; 由 ab,若 a 与 b 同向,则 a 在 b 方向上的投影为|a|,若 a 与 b 方向
5、相反,则 a 在 b 方向上的投 影为-|a|. 答案:A 8 在ABC 中,已知 D 为 AB 边上的一点,若 = 2, = 1 3 + ,则 = ( ) A. 2 3. 1 3. 1 3. 2 3 解析: = + = + 2 3 = + 2 3( ) = 1 3 + 2 3, = 2 3. 答案:A 9 已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120,若向量 c=a+b,且 ac,则 | |的值为( ) A. 1 2. 2 3 3 .2. 3 解析:c=a+b,ac,ac=0,即 a(a+b)=a2+ab=|a|2+|a|b|cos120=|a|2a|b|=0, 1 2| |a|2a|b|,
6、= 1 2| | | = 1 2. 答案:A 10 设 a,b 是非零向量,若函数 f(x)=(xa+b)(a-xb)的图象是一条直线,则必有( ) A.abB.ab C.|a|=|b|D.a=b 解析:f(x)=(xa+b)(a-xb)=xa2-x2ab+ab-xb2=-x2ab+(a2-b2)x+ab, 由于函数 f(x)的图象是一条直线,则 ab=0. 又 a,b 是非零向量,所以 ab. 答案:B 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上) 11 已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 a+b=0(R),则|= . 解析:|b|
7、a+b=0,得 b=-a,故|b|=|-a|=|a|,所以| = 22+ 12= 5,由 = | | = 5 1 =5. 答案: 5 12 已知向量 a=(1,3),b=(-2,m),若 a 与 a+2b 垂直,则 m 的值为 . 解析:a+2b=(1,3)+(-4,2m)=(-3,3+2m), a(a+2b),a(a+2b)=0, -3+3(3+2m)=0,解得 m=-1. 答案:-1 13 已知 a=(1,2),b=(-2,log2m),若|ab|=|a|b|,则正数 m 的值等于 . 解析:|ab|=|a|b|,ab, log2m=-4,m=2-4 = 1 16. 答案: 1 16 14
8、 设 O,A,B,C 为平面内四点abc,且 a+b+c=0,ab=bc=ca=-1,则|a|2+|b|2+|c|2= . , = , = , = 解析:(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(ab+bc+ca)=|a|2+|b|2+|c|2-6=0,则|a|2+|b|2+|c|2=6. 答案:6 15 如图,在ABCD 中,P 在对角线 AC 上,且 AP = 1 3,用基底,表示,则 = . 解析: = + + = 2 + , = 1 3 = 2 3 + 1 3 = 2 3 + 1 3. 答案: 2 3 + 1 3 三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出必要
9、的文字说明、证明过程或演算 步骤) 16(8 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(16,12),B(-5,15). (1)求|,|; (2)求OAB. 解(1) = (16,12), = ( 21,3), | = 162+ 122= 20, | = ( - 21)2+ 32= 15 2. (2(-21,3)=300, ) = ( 16, 12) 则 cosOAB = | = 300 20 15 2 = 2 2 , 又OAB0,故OAB = 4. 17(8 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 O 是坐标原点,已知ABCD 的三个顶点 A(2,3),B(-1,-2),C(- 2,-1).
10、(1)求对角线 AC 及 BD 的长; (2)若实数 t 满足( + ) = 0,求的值. 解(1)设顶点 D 的坐标为(x,y).在ABCD 中,(3,5)=(x+2,y+1),所以 x=1,y=4,所以顶点 D 由 = ,得 的坐标为(1,4),所以| = 4 2,| = 2 10. (2)因为 = ( 3, 5), = ( 2, 1),( + ) = 0, 所t= 以 + 2= 6 + 5 + 5 = 0,所以 11 5 . 18(9 分)设向量 a=(cos ,sin )(02),ba 与 b 不共线. =(- 1 2, 3 2), (1)证明向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当
11、两个向b 与 a 量 3 +3的模相等时,求角. (1)证明 a+ba-ba+b)(a-b)=cos2 =(- 1 2 + , 3 2 + ),=(1 2 + , - 3 2),( a+b)(a-b). 1 4 + 2 3 4 = 0, ( (2)解由题意b)2=(aab=0, 知( 3 + 3)2,得 =0, 1 2 + 3 2 得 tan02,得 = 3 3 .又 = 6 或 = 7 6 . 19(10 分)已知直角三角形的两条直角边长分别为 4 和 6,试用向量求出两直角边中线所成钝角 的余弦函数值. 解 以直角边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图平面直角坐标系,则 A(4,0),B(0
12、,6), 设 AF,BE 分别为 OB,OA 边上的中线,则 E(2,0),F(0,3). 因为 = ( 4,3), = (2, 6), 所以 cos = | = 13 10 50 . 所以两中线所成钝角的余弦值为 13 10 50 . 20(10 分)(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,求 a 与 b 的夹角 . (2) 设 = (2,5), = (3,1), = (6,3),在上是否存在点,使 ?若存在,求出点的坐标;若不存在 ,请说明理由. 解(1)(2a-3b)(2a+b)=61, 4a2-4ab-3b2=61. 又|a|=4,|b|=3, ab=-6. cos = | = 1 2, =120. (2)设存在点 M,1), 且 = = (6,3)(0 = (2 6,5 3), = (3 6,1 3). (2-6)(3-6)+(5-3)(1-3)=0, 452-48+11=0, 解得 = 1 3 或 = 11 15, = (2,1)或 =(22 5 ,11 5). 存在 M(2,1). 或 ( 22 5 ,11 5)满足题意
