《2018秋新版高中数学北师大版必修5习题：第一章数列 检测 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学北师大版必修5习题：第一章数列 检测 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.设首项为 1,公比为 的等比数列an的前 n 项和为 Sn,则( ) 2 3 A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an 解析:Sn=3-2an,故选 D. 1(1 - ) 1 - = 1 - 1 - = 1 - 2 3 1 - 2 3 答案:D 2.等差数列an的公差为 2,若 a2,a4,a8成等比数列,则an的前 n 项和 Sn=( ) A.n(n+1)B.n(n-1)C.
2、D. ( + 1) 2 ( - 1) 2 解析:a2,a4,a8成等比数列, =a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14), 2 4 解得 a1=2. Sn=na1+d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选 A. ( - 1) 2 答案:A 3.若数列an为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn=+的结果可化为( ) 1 12 + 1 23 1 + 1 A.1-B.1- 1 4 1 2 C.D. 2 3( 1 - 1 4) 2 3( 1 - 1 2) 解析:an=2n-1,设 bn=, 1 + 1 =(1 2) 2 - 1 则 Tn=b1+b2+bn =+ 1 2 +(1
3、 2) 3 ( 1 2) 2 - 1 =. 1 2( 1 - 1 4) 1 - 1 4 = 2 3( 1 - 1 4) 答案:C 4.在正项等比数列an中,a3= ,S3=,则数列an的通项公式为( ) 2 9 26 9 A.B.2 3 4 (2 3) ( 1 3) C.2D.3n-1 ( 1 3) - 1 2 81 答案:C 5.某型号计算机的成本不断降低,若每隔两年该型号计算机价格降低 ,现在的价格是 8 100 元,则 6 年 1 3 后,价格降低为( ) A.2 200 元B.900 元 C.2 400 元D.3 600 元 解析:6 年后价格降低了 3 次,则价格降低为 8 100=
4、2 400(元). ( 1 - 1 3) 3 答案:C 6.若数列an满足=d(nN+,d 为常数),则称数列an为“调和数列”.已知正项数列为“调和 1 + 1 1 1 数列”,且 b1+b2+b9=90,则 b4b6的最大值是( ) A.10B.100C.200D.400 解析:因为正项数列为“调和数列”,所以 bn+1-bn=d,即数列bn为等差数列,由等差数列的性质,得 1 b1+b2+b9=9b5=90,所以 b5=10,则 b4+b6=2b5=20,所以 b4b6=b4(20-b4)=-(b4-10)2+100,则当 b4=10 时, b4b6取得最大值 100. 答案:B 7.已
5、知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是 d(d1),且 a1=b1,a4=b4,a10=b10,则 a1和 d 的值 分别为( ) A.B.- 3 2,32 3 2,32 C.-,-D.,- 3 2 3 2 3 2 3 2 解析:由 4= 4, 10= 10, ? 得1 + 3 = 13, 1+ 9 = 19, ? ? ? 由两式得 a1=, 9 - 37 6 - 1 代入式中得+3d=d3, 9 - 37 6 - 1 9 - 37 6 - 1 化简得 d9-3d3+2=0, 即(d3-1)(d6+d3-2)=0. d1, 由 d6+d3-2=0,得 d=-,a1=-d=. 3 2 3
6、2 答案:D 8.已知函数 f(n)=n2cos n,且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+a100=( ) A.-100B.0C.100D.10 200 解析:若 n 为偶数,则 cos n=1,cos(n+1)=-1, 所以 an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1. 所以数列an的偶数项是首项为 a2=-5,公差为-4 的等差数列; 若 n 为奇数,则 cos n=-1,cos(n+1)=1, 所以 an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1. 所以数列an的奇数项是首项为 a1=3,公差为 4 的等差数列. 所以 a1+a2+a3
7、+a100=(a1+a3+a99)+(a2+a4+a100)=503+4+50(-5)+(- 50 49 2 50 49 2 4)=-100. 答案:A 9.已知 a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等比数列,且公比 q1,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来 的顺序)是等差数列,则 q 等于( ) A.B. 1 + 5 2 或 - 1 + 5 2 1 + 5 2 C.D.1+ - 1 + 5 25 解析:由题意,知 a10,q0,且 q1,若删去 a1,则 2a3=a2+a4,得 2a1q2=a1q+a1q3,解得 q=1(舍去); 若删去 a2,则 2a3=a1+a4,得 2a1q2=
8、a1+a1q3,即(q-1)(q2-q-1)=0,解得 q=; 1 + 5 2 若删去 a3,则 2a2=a1+a4,得 2a1q=a1+a1q3,即(q-1)(q2+q-1)=0,解得 q=; - 1 + 5 2 若删去 a4,则 2a2=a1+a3,得 2a1q=a1+a1q2,解得 q=1(舍去), 综上可得 q=. 1 + 5 2 或 - 1 + 5 2 答案:A 10.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续 生产 n 年的累计产量(单位:t)为 f(n)= n(n+1)(2n+1),但如果年产量超过 150 t,将会给环境造成危害.为
9、1 2 保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( ) A.5 年B.6 年C.7 年D.8 年 解析:由已知可得第 n 年的产量 an=f(n)-f(n-1)=3n2.当 n=1 时也适合.根据题意令 an150,则 n5, 2 即数列从第 8 项开始超过 150,即这条生产线最多生产 7 年. 答案:C 11.定义运算“*”,对任意 a,bR,满足:a*b=b*a;a*0=a;(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b).设数列an 的通项公式为 an=n* *0,则数列an为( ) 1 A.等差数列B.等比数列 C.递增数列D.递减数列 解析:由题意知 an=*0
10、=0*+(n*0)+=1+n+ ,显然数列an既不是等差数列也不是等 ( * 1 ) ( 1 ) ( 0 * 1 ) 1 比数列. 因为函数 y=x+ 在1,+)上是增加的, 1 所以数列an为递增数列. 答案:C 12.已知等差数列an的首项为 a1,公差为 d,其前 n 项和为 Sn,若直线 y= a1x+m 与圆(x-2)2+y2=1 的两 1 2 个交点关于直线 x+y-d=0 对称,则数列的前 100 项和等于( ) 1 A.B.C.D.1 100 101 99 100 98 99 解析:因为直线 y= a1x+m 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 x+y-d=0 对称
11、,所以直线 x+y-d=0 经 1 2 过圆心,且直线 y= a1x+m 与直线 x+y-d=0 垂直,所以 2+0-d=0, a1=1,解得 d=2,a1=2,则 1 2 1 2 Sn=2n+2=n(n+1),所以数列的前 100 项和为 1-+ ( - 1) 2 1 = 1 ( + 1) = 1 1 + 1 1 1 2 + 1 2 1 3 =1-. 1 100 1 101 1 101 = 100 101 答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.若三个正数 a,b,c 成等比数列,其中 a=5+2,c=5-2,则 b= . 66
12、 解析:因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac, 即 b2=(5+2)(5-2)=1. 66 又 b 是正数,所以 b=1. 答案:1 14.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据以上排列规律,数阵中第 n(n3)行从左至右的第 3 个数是 . 解析:前 n-1 行的正整数的个数为 1+2+(n-1)=,因此第 n 行从左到右的第 3 个数是全体正整 2 - 2 数中的第个数,即为. ( 2 - 2 + 3) 2- + 6 2 答案: 2- + 6 2 15.设数列an的通项公式为 an=2n-7(nN+),则|a
13、1|+|a2|+|a15|= . 解析:由 an=2n-70,得 n ,即 ai0(i=1,2,3), 7 2 记 Sn为数列an的前 n 项和,易得 Sn=a1+a2+an=n2-6n. |a1|+|a2|+|a15|=-a1-a2-a3+a4+a5+a15=-2S3+S15=-2(-9)+135=153. 答案:153 16.数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a1= ,且对任意正整数 m,n,都有 am+n=aman,若 Sn0.因为 1+2+12=78,所以数阵中第 1 12 13 2 行至第 12 行含有数列an中的前 78 项.所以 a81在数阵中的第 13 行第 3 列,因此
14、a81=b13q2=-,又 4 91 b13=-=-,所以 q=2(q=-2 舍去).记数阵中第 k(k3)行所有项的和为 S,则 S=- 2 13 14 1 91 (1 - ) 1 - . 2 ( + 1) 1 - 2 1 - 2 = 2 - 2 + 1 ( + 1) 22.(12 分)设数列an的前 n 项和 Sn满足 2Sn=an+1-2n+1+1,nN+,且 a1,a2+5,a3成等差数列. (1)求 a1的值; (2)求数列an的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有+. 1 1 + 1 2 1 3 2 (1)解:a1,a2+5,a3成等差数列,2(a2+5)=a1+a3. 又
15、 2a1=2S1=a2-22+1,2(a1+a2)=2S2=a3-23+1,a2=2a1+3,a3=6a1+13.4a1+16=7a1+13,解得 a1=1. (2)解:由题设条件知,当 n2 时,2Sn-1=an-2n+1,2Sn=an+1-2n+1+1.2an=an+1-an-2n,于是 an+1=3an+2n(n2).而由(1)知,a2=2a1+3=5=3a1+2,因此对一切正整数 n,有 an+1=3an+2n,an+1+2n+1=3(an+2n).又 a1+21=3,an+2n是以 3 为首项,3 为公比的等比数列.故 an+2n=3n,即 an=3n-2n. (3)证明:an=3n-2n=33n-1-2n =3n-1+2(3n-1-2n-1)3n-1,. 1
