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1、概率论与数理统计公式总结 第一章第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)P(AB)P(AB)P(AB) 特别地，当特别地，当 A A A A、B B B B 互斥时，互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式条件概率公式 概率的乘法公式概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果全概率公式：从原因计算结果 BayesBayesBayesBayes 公式：从结果找原因公式：从
2、结果找原因 第二章第二章 二项分布（二项分布（BernoulliBernoulliBernoulliBernoulli 分布）分布）XB(n,p)XB(n,p)XB(n,p)XB(n,p) 泊松分布泊松分布XP(XP(XP(XP() ) ) ) 概率密度函数概率密度函数 怎样计算概率怎样计算概率 均匀分布均匀分布 XU(a,b)XU(a,b)XU(a,b)XU(a,b) 指数分布指数分布 XExpXExpXExpXExp ( ( ( () ) ) ) 分布函数分布函数 对离散型随机变量对离散型随机变量 对连续型随机变量对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系：分布函数与密度函数的重要关系
3、： 二元随机变量及其边缘分布二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性 第三章第三章 数学期望数学期望 离散型随机变量，数学期望定义离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义 E(a)=aE(a)=aE(a)=aE(a)=a，其中，其中 a a a a 为常数为常数 E(a+bX)=a+bE(X)E(a+bX)=a+bE(X)E(a+bX)=a+bE(X)E(a+bX)=a+
4、bE(X)，其中，其中 a a a a、b b b b 为常数为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X X X X、Y Y Y Y 为任意随机变量为任意随机变量 随机变量随机变量 g(X)g(X)g(X)g(X)的数学期望的数学期望 常用公式常用公式 )( )( )|( BP ABP BAP= )|()()(BAPBPABP=)|()(ABPAP= = = n k kk BAPBPAP 1 )|()()( = = n k kk ii k BAPBP BAPBP ABP 1 )|()( )|()(
5、 )|( ),.,1 , 0()1 ()(nkppCkXP knkk n = ， ,.)1 , 0( ! )(= ke k kXP k ， 1)(= + dxxf )(bXaP = b a dxxfbXaP)()( )0( 1 )( / = xexf x = xk kXPxXPxF)()()( = x dttfxXPxF)()()( = x dttfxXPxF)()()( ),(yxf ),(yxF 0),(yxf 1),(= + + dxdyyxf 1),(0yxF ,),(yYxXPyxF= + =dyyxfxfX),()( + =dxyxfyfY),()( ,jYPiXPjYiXP= )
6、()(),(yfxfyxf YX = + = = k kk PxXE)( + =dxxfxXE)()( = k kk pxgXgE)()( = ij ijip xXE)( )( 1 )(bxa ab xf = )()( xfxF= 方差方差 定义式定义式 常用计算式常用计算式 常用公式常用公式 当当 X X X X、Y Y Y Y 相互独立时：相互独立时： 方差的性质方差的性质 D(a)=0，其中 a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中 a、b 为常数 当 X、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数协方差与相关系数 协方差的性质协方差的性质 独立与相关独立与
7、相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章第四章 正态分布正态分布 标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式标准正态分布的概率计算公式 )()()(aaZPaZP= )()()(abbZaP= 1)(2)()()(=aaaaZaP 一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算 一般正态分布的概率计算公式一般正态分布的概率计算公式 第五章第五章 卡方分布卡方分布 t t t t 分布分布 F F F F 分布分布 正态总体条件下正态总体条件下 样本均值的分布：样本均值的分布： dxdyyxxfXE =),()( )()()(YEXEYXE+=+
8、 = ij ijji pyxXYE)( dxdyyxxyfXYE =),()( )()()(,YEXEXYEYX=独立时与当 () + =dxxfXExXD)()()( 2 2 2 )()()(XEXEXD= )()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD+=+ )()()(YDXDYXD+=+ )()()(),(YEXEXYEYXCov= )()( ),( YDXD YXCov XY = )()()()()(YEXEXYEYEYXEXE= ()()()(),( 2 2 XDXEXEXXCov= ),(),(YXabCovbYaXCov= ),(),(),(ZYCovZXCovZYXCov
9、+=+ ),( 2 NX 2 2 2 )( 2 1 )( = x exf 2 )(,)(=XDXE )(1)(aa= ) 1 , 0(),( 2 N X ZNX = )()()( = a aXPaXP )()()( = ab bXaP )() 1 , 0( 2 1 2 nXNX n i i = ，则若 ()( 1 ),( 2 1 2 2 2 nYNY n i i = 则若 ),( / / ),(),( 21 2 1 2 2 1 2 nnF nV nU nVnU则若 ),( 2 n NX ) 1 , 0( / N n X 则若),(),1 , 0( 2 nYNX )( / nt nY X 样本方
10、差的分布：样本方差的分布： 两个正态总体的方差之比两个正态总体的方差之比 第六章第六章 点估计：参数的估计值为一个常数点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计矩估计 最大似然估计最大似然估计 似然函数似然函数 均值的区间估计均值的区间估计大样本结果大样本结果 正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知大样本或正态小样本且方差已知 两个正态总体方差比的置信区间两个正态总体方差比的置信区间 第七章第七章 假设检验的步骤假设检验的步骤 1根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H1 2根据假设选择检验统计量，并
11、计算检验统计值 3看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则 拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。 不可避免的两类错误不可避免的两类错误 第 1 类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设 第 2 类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设 单个正态总体的显著性检验单个正态总体的显著性检验 单正态总体均值的检验 大样本情形Z 检验 正态总体小样本、方差已知Z 检验 正态总体小样本、方差未知 t 检验 单正态总体方差的检验 正态总体、均值未知卡方检验 单正态总体均值的显著性检验单正态总体均值的显著性检验 统计假设的形式统计假设的形式 双边检验双边检验 左边检验左边检验 右边检验右边检验 单正态总体均
12、值的单正态总体均值的 Z Z Z Z 检验检验 拒绝域的代数表示拒绝域的代数表示 双边检验双边检验 左边检验左边检验 右边检验右边检验 比例比例特殊的均值的特殊的均值的 Z Z Z Z 检验检验 单正态总体均值的单正态总体均值的 t t t t 检验检验 ) 1( ) 1( 2 2 2 n Sn ) 1( / nt ns X ) 1, 1( / / 21 2 2 2 1 2 2 2 1 nnF SS );( 1 i n i xfL = = );( 1 i n i xpL = = n zx 2/ 正态分布的分位点 大样本要求样本容量 代替准差通常未知，可用样本标标准差 样本均值 2/ )50(
13、)( z nn s x n pp zp )1 ( 2/ 正态分布的分位点 大样本要求样本容量 样本比例 2/ )50( z nn p 已知准差小样本、正态总体、标 n zx 2/ 未知准差小样本、正态总体、标 n s ntx) 1( 2/ 分布的分位点的自由度为tnnt1) 1( 2/ () 2 2/1 2 2 2/ 2 )1()1( , SnSn 卡方分布的分位点 样本方差 2 2/ 2 S () + 2 2 2 1 2 1 2/21 nn zxx ) 1, 1( / , ) 1, 1( / 212/ 2 2 2 1 212/ 2 2 2 1 nnF SS nnF SS 0100 :) 1 (=HH 0100 :)2(HH n X Z / 0 =代替）未知时用（大样本情形S 2/ ZZ ZZ npp pp Z /)1 ( 00 0 = 样本比例 总体比例 p p0 ZZ 单正态总体方差的卡方检验单正态总体方差的卡方检验 拒绝域拒绝域 双边检验双边检验 左边检验左边检验 右边检验右边检验 nS X t / 0 = 2 0 2 2 ) 1( Sn = 2 2/1 22 2/ 2 或 2 2/1 2 2 2/ 2
