《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.1.3 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.1.3 （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.3空间向量的数量积运算课时过关能力提升基础巩固1下列命题正确的是()A.|a|a=a2B.(ab)2=a2b2C.a(ab)=a2bD.|ab|a|b|解析:A项左侧为向量,右侧为数,不正确.向量数量积不满足结合律,故B,C不正确.答案:D2已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则ab=()A.1B.2C.3D.4解析:pq,且|p|=|q|=1,ab=(3p-2q)(p+q)=3p2+pq-2q2=3+0-2=1.答案:A3设a,b,c是不共线的非零向量,已知下列命题:(ab)c-(ca)b=0;|a|-|b|a-b|;(ba)c-(ca)b不与a垂直;(3a+
2、2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有()A.B.C.D.答案:D4a,b是非零向量,“ab=|a|b|”是“a,b共线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由ab=|a|b|,知cos=1,=0,a与b共线.反之,若a与b共线,则ab=|a|b|.答案:A5若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且ca,则向量a与b的夹角是()A.30B.60C.120D.150解析:ca,ca=(a+b)a=0,可得ab=-1,cosa,b=ab|a|b|=-12,故向量a与b的夹角是120.答案:C6已知|a|=12,|b|=9,ab=-
3、542,则=.解析:cos=ab|a|b|=-542129=-22,=135.答案:1357若向量a与b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为3,则ab=.答案:18已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|3a-b|=.答案:79已知在三棱锥O -ABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PMQN.证明设OA=a,OB=b,OC=c.P,M分别为OA,BC的中点,PM=OM-OP=12(b+c)-12a=12(b-a)+c.同理,QN=12(a+c)-12b=-12(b-a)-c.PMQN=-14|b-a|2-|c|2.AB=OC,即|b-a
4、|=|c|.PMQN=0.PMQN,即PMQN.10如图,已知E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点,试求向量A1C1与DE夹角的余弦值.解:设正方体的棱长为m,AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|b|=|c|=m,ab=bc=ac=0.A1C1=A1B1+A1D1=AB+AD=a+b,DE=DD1+D1E=DD1+12D1C1=c+12a,A1C1DE=(a+b)c+12a=ac+bc+12a2+12ab=12a2=12m2.又|A1C1|=2m,|DE|=52m,cos=A1C1DE|A1C1|DE|=12 m252m2m=1010.能力提升1已知a,b是异面直线,
5、且ab,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:ab,ab=(2e1+3e2)(ke1-4e2)=2k|e1|2+(3k-8)e1e2-12|e2|2=2k-12=0,k=6.答案:B2如图,在正四面体ABCD中,E是BC的中点,则()A.AEBCAECDD.AEBC与AECD不能比较大小答案:C3设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足ABAC=0,ACAD=0,ABAD=0,则BCD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定解析:ABAC=0,ACAD=0,ABAD=0
6、.AB,AC,AD两两垂直.BC2=AB2+AC2,CD2=AC2+AD2,BD2=AB2+AD2,BC2CD2+BD2,CD2BC2+BD2,BD2BC2+CD2.BCD是锐角三角形.答案:B4在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,则AC1的长为()A.13B.23C.33D.43解析:AC1=AB+AD+AA1,|AC1|=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2ABAD+2ABAA1+2ADAA1.AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,=90,=60.
7、|AC1|=1+4+9+2(13cos60+23cos60)=23.答案:B5若向量a,b的夹角为30,且|a|=3,|b|=4,则(a+2b)(a-b)=.解析:(a+2b)(a-b)=|a|2-ab+2ab-2|b|2=|a|2-|a|b|cos 30+2|a|b|cos 30-2|b|2=9-3432+23432-216=63-23.答案:63-236已知|a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+b,=135,mn,则=.解析:由mn,得(a+b)(a+b)=0,则a2+ab+ab+b2=0,18+324cos 135+324cos 135+16=0,即4+6=0,解得=-32.答案
8、:-327已知在空间四边形OABC中,OABC,OBAC,求证:OCAB.证明OCAB=OC(OB-OA)=OBOC-OCOA.OABC,OBAC,OABC=OA(OC-OB)=OAOC-OAOB=0,OBAC=OB(OC-OA)=OBOC-OBOA=0.-,得OAOC-OBOC=0,OCBA=0.OCAB.8如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N分别为正方形ABCD和AA1B1B的中心.(1)求证:AC1平面A1BD;(2)求D1M与CN夹角的余弦值.(1)证明设AB=a,AD=b,AA1=c,则AC1=a+b+c,BD=b-a,A1B=a-c.注意到|a|=|b|=|c|,a
9、b=ac=bc=0,则有AC1BD=(a+b+c)(b-a)=ab-a2+b2-ab+bc-ac=|b|2-|a|2=0.同理AC1A1B=0,AC1BD,AC1A1B,AC1BD,AC1A1B.又A1B与BD相交,AC1平面A1BD.(2)解:设正方体的棱长为a,则D1M=D1D+DM=-c+12(a-b),CN=CB+BN=-b+12(c-a),|D1M|2=-c+12(a-b)2=a2+14a2+14a2=32a2,|D1M|=62a.同理|CN|=62a.又D1MCN=-c+12(a-b)-b+12(c-a)=-12|c|2-14|a|2+12|b|2=-14a2,cos=-14a26
10、2a62a=-16.即D1M与CN夹角的余弦值为-16.9如图所示,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;(2)求.分析(1)要证AO,BO,CO两两垂直只需证AOBO=BOCO=COAO=0.(2)由公式cos=DMAO|DM|AO|,可求得.(1)证明设VA=a,VB=b,VC=c,且正四面体的棱长为1,有|a|=|b|=|c|=1,ab=bc=ac.则VD=13(a+b+c),AO=16(b+c-5a),BO=16(a+c-5b),CO=16(a+b-5c),AOBO=136(b+c-5a)(a+c-5b)=136(18ab-9|a|2)=1361811cos3-9=0.AOBO,即AOBO.同理AOCO,BOCO.AO,BO,CO两两垂直.(2)解:DM=DV+VM=-13(a+b+c)+12c=16(-2a-2b+c),|DM|=16(-2a-2b+c)2=12,|AO|=16(b+c-5a)2=22,DMAO=16(-2a-2b+c)16(b+c-5a)=14.cos=141222=22.0,=4.
