《2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入 3.2.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入 3.2.1 （4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1(6-2i)-(3i+1)等于( ) A.3-3iB.5-5i C.7+iD.5+5i 解析(6-2i)-(3i+1)=(6-1)+(-2-3)i=5-5i. 故选 B. 答案 B 2 若复数 z 满足 z+i-3=3-i,则 z 等于( ) A.0B.2iC.6D.6-2i 解析z+i-3=3-i, z=(3-i)-(i-3)=(3+3)+(-i-i)=6-2i, 故选 D. 答案 D 3 在复平面内,已知点 A 对应的复数为 2+3i,向量对应的复数
2、为-1+2i,则向量对应的复数为( ) A.1+5iB.3+i C.-3-iD.1+i 解析因为,所以对应的复数为(2+3i)-(-1+2i)=(2+1)+(3-2)i=3+i.故选 B. = 答案 B 4 若 z1=2+i,z2=3+ai(aR),且 z1+z2所对应的点在实轴上,则 a 的值为( ) A.3B.2C.1D.-1 解析 z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.z1+z2所对应的点在实轴上, 1+a=0.a=-1. 答案 D 5 若在复平面内的ABCD 中,对应复数 6+8i,对应复数-4+6i,则对应的复数是( ) A.2+14iB.1+7i
3、 C.2-14iD.-1-7i 解析设对应的复数分别为 z1与 z2, , 则有得 2z2=2+14i,z2=1+7i, 1+ 2= 6 + 8, 2 - 1= - 4 + 6, ? 故对应的复数是-1-7i. 答案 D 6 已知复数 z1=3+2i,z2=1-3i,则复数 z=z1-z2在复平面内对应的点 Z 位于复平面内的第 象限. 答案一 7 已知 z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i(mR).若 z1-z2=0,则 m= . 解析z1-z2=(m2-3m+m2i)-4+(5m+6)i =(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i=0, m=-1. 2- 3 - 4 = 0,
4、 2- 5 - 6 = 0. ? 答案-1 8 已知 z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,bR).若 z1-z2=4,则 a+b= . 3 233 解析 z1-z2=a+(a+1)i-3b+(b+2)i 3 23 =+(a-b-1)i=4, ( 3 2 + 3 3) 3 由复数相等的条件,知 3 2 + 3 3 = 4 3, - - 1 = 0, ? 解得故 a+b=3. = 2, = 1. ? 答案 3 9 若|z-1|=1,试说明复数 z 对应点的轨迹. 分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解. 解根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|=1 表示复数 z 对
5、应的点到点(1,0)的距离为 1, 所以复数 z 对应的点的轨迹是以点(1,0)为圆心,以 1 为半径的圆. 能力提升能力提升 1 已知复数 z1=i,复数 z2=cos 60+isin 60,则 z1+z2等于( ) 1 2 3 2 A.1B.-1 C.iD.i 1 2 3 2 1 2 + 3 2 答案 A 2 已知 z1=3-4i,z2=-5+2i,z1,z2对应的点分别为 P1,P2,则对应的复数为( ) 21 A.-8+6iB.8-6i C.8+6iD.-2-2i 解析由复数减法的几何意义知:对应的复数为 z1-z2=3-4i-(-5+2i)=(3+5)+(-4-2)i=8-6i,故选
6、 B. 21 答案 B 3 已知 A,B 分别是复数 z1,z2在复平面内对应的点,O 是坐标原点.若|z1+z2|=|z1-z2|,则AOB 一定是( ) A.等腰三角形B.直角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形 解析因为|z1+z2|=|z1-z2|,所以由复数加减运算的几何意义知,以 OA,OB 为邻边的平行四边形是矩形,故AOB 是直角三 角形. 答案 B 4 已知 zC,|z-2|=1,则|z+2+5i|的最大值和最小值分别是( ) A.+1 和-1B.3 和 1 4141 C.5D.和 3 2和 3439 解析由|z-2|=1 知 z 对应的点在以(2,0)为圆心,半径为 1
7、 的圆上,而|z+2+5i|=|z-(-2-5i)|表示 z 对应的点到点(-2,-5)的距离. 而圆心(2,0)与(-2,-5)间的距离为,故最大值为+1,最小值为-1. 414141 答案 A 5 已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=,则|z1-z2|= . 3 解析在平面直角坐标系内以原点 O 为起点作出 z1,z2对应的向量,则向量对应 z1+z2,对应 z1-z2. 1,2 21 由题意知|=1,|=1,|=,可得OZ1Z=120, 12 3 所以Z2OZ1=60,即Z2OZ1是等边三角形. 所以在Z2OZ1中,|=1,即|z1-z2|=1. 21 答案 1 6 已知集合
8、 A=z1|z1+1|1,z1C,B=z2|z2=z1+i+m,z1A,mR. (1)当 AB=时,求实数 m 的取值范围; (2)是否存在实数 m,使得 AB=A? 解因为|z1+1|1,所以 z1所对应的点构成的集合 A 是以(-1,0)为圆心,以 1 为半径的圆面(圆周及其内部).又 z2=z1+i+m, 所以 z1=z2-i-m. 所以|z2-i-m+1|1,即|z2-(m-1)+i|1. 所以 z2所对应的点的集合 B 是以点(m-1,1)为圆心,1 为半径的圆面(圆周及其内部). (1)若 AB=,说明上述两圆外离,其圆心距 d=2,解得 m 的取值范围是m|mR,且 m或 ( -
9、 1 + 1)2+ 123 m-. 3 (2)若 AB=A,因为两圆半径相等,所以两圆重合,但由圆心的坐标(-1,0)及(m-1,1)可知它们不可能重合,所以不存在 实数 m,使 AB=A. 7 在复平面内,复数 z1对应的点在连接 1+i 和 1-i 对应的点的线段上移动,设复数 z2对应的点在以原点为圆心,半 径为 1 的圆周上移动,求复数 z1+z2对应的点在复平面上移动的范围的面积. 解设 =z1+z2,则 z2=-z1,所以|z2|=|-z1|. 因为|z2|=1,所以|-z1|=1.此式说明对于给定的 z1, 对应的点在以 z1对应的点为圆心,1 为半径的圆上运动. 又 z1对应的
10、点在连接 1+i 和 1-i 对应的点的线段上移动, 所以 对应点的移动范围的面积为 S=22+12=4+,即复数 z1+z2对应的点在复平面上移动的范围的面积是 4+. 8 已知复数 z1=1-2i 和 z2=4+3i 分别对应复平面内的 A,B 两点.求: (1)A,B 两点间的距离; (2)线段 AB 的垂直平分线方程的复数形式,并化为实数表示的一般形式. 解(1)|AB|=|z2-z1|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|=. 34 (2)线段 AB 的垂直平分线上任一点 Z 到 A,B 两点的距离相等,设点 Z 对应的复数为 z,由复数模的几何意义,知|z- (1-2i)|=|z-(4+3i)|. 设 z=x+yi(x,yR),代入上式,知 |(x-1)+(y+2)i|=|(x-4)+(y-3)i|, 即(x-1)2+(y+2)2=(x-4)2+(y-3)2. 整理上式可得线段 AB 的垂直平分线的方程为 3x+5y-10=0. 所以线段 AB 的垂直平分线方程的复数形式为|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|,实数表示的一般形式为 3x+5y-10=0.
