《2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.7.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.7.1 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用课时过关能力提升基础巩固1曲线y=x3与直线y=x所围成的封闭图形的面积S等于()A.-11 (x-x3)dxB.-11 (x3-x)dxC.201 (x-x3)dxD.2-10 (x-x3)dx解析如图,阴影部分的面积S=201 (x-x3)dx.故选C.答案C2曲线y=cos x0x32与坐标轴所围成的图形的面积S是()A.2B.3C.52D.4解析S=02 cos xdx+232cosxdx=sin x|02-sin x|232=1+2=3.故选B.答案B3如图,阴影部分的面积是()A.23B.2-3C.323D.353解析-31 (3
2、-x2-2x)dx=3x-13x3-x2|-31=323.故选C.答案C4曲线y=x2+1与两坐标轴及直线x=1所围成的图形的面积S为()A.13B.43C.53D.2解析S=01 (x2+1)dx=13x3+x|01=13+1=43.答案B5直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.22B.42C.2D.4解析由y=4x,y=x3,解得x=-2或x=0或x=2,所以直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S=02 (4x-x3)dx=2x2-14x402=222-1424-0=4.答案D6由曲线y=ex,直线x=2,x=4,y=0所围成的图形的面
3、积S=.解析S=24 exdx=ex|24=e4-e2.答案e4-e27设a0,若曲线y=x与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=.解析由题意可得曲线y=x与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积S=0a xdx=23x32|0a=23a32=a2,解得a=49.答案498求曲线xy=1及直线y=x,y=3所围成图形的面积S.分析画出图形;根据图形的特征,由交点坐标确定积分的上、下限;确定被积函数.解如图,由xy=1,y=x得点A的坐标为(1,1).由xy=1,y=3得点B的坐标为13,3.由y=x,y=3得点C的坐标为(3,3).所求面积为S=S1+S2=131 3-1xdx
4、+13 (3-x)dx=(3x-ln x)|131+3x-12x2|13=2-ln 3+2=4-ln 3.能力提升1由曲线y=x和y=x3所围成图形的面积可用定积分表示为()A.01 xdx+01 x3dxB.01 x3dx-01 xdxC.01 xdx-01 x3dxD.以上都不正确解析解方程组y=x,y=x3,得x=0,y=0,x=1,y=1,而当0x1时,xx3,所以曲线y=x与y=x3所围成图形的面积可用定积分表示为01 (x-x3)dx=01 xdx-01 x3dx,故选C.答案C2求由y=ex,x=2,y=1围成的曲边梯形的面积时,若选择x为积分变量,则积分区间为()A.0,e2B
5、.0,2C.1,2D.0,1解析如图,作出y=ex,x=2,y=1三个函数的图象,由三者围成的曲边梯形如图中阴影部分,若选择x为积分变量,则积分区间应为0,2.故选B.答案B3如图,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=x围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是()A.12B.16C.14D.13解析依题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于01 (x-x2)dx=23x32-13x3|01=13,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13,故选D.答案D4如图,
6、一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.解析以梯形的下底为x轴,上、下底边的中点连线为y轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax2,则抛物线过点(5,2),故2=25a,得a=225,故抛物线的方程为y=225x2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)22=16,而当前的截面面积为205 2-225x2dx=22x-2325x3|05=403,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2.答案1.25抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(1,0)和点B(3
7、,0)处的切线所围成的图形的面积为.解析由y=-2x+4,得点A,B处切线的斜率分别为2和-2,则两切线方程分别为y=2x-2和y=-2x+6.由y=2x-2,y=-2x+6,得C(2,2).所以S=SABC-13 (-x2+4x-3)dx=1222-13x3+2x2-3x|13=2-43=23.答案236如图,直线y=kx把抛物线y=x-x2与x轴所围成的图形分为面积相等的两部分,求k的值.分析所围图形的面积可用定积分表示,从而确定出要求的参数.解抛物线y=x-x2与x轴的两个交点的横坐标为x1=0,x2=1,所以抛物线与x轴所围图形的面积S=01 (x-x2)dx=x22-x33|01=1
8、2-13=16.由y=kx,y=x-x2,可得抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x1=0,x2=1-k,所以S2=01-k (x-x2-kx)dx=1-k2x2-x33|01-k=16(1-k)3.又S=16,所以(1-k)3=12.于是k=1-312=1-342.所以k的值为1-342.7如图,已知曲线C1:y=x2与曲线C2:y=-x2+2ax(a1)交于点O,A,直线x=t(0t1)与曲线C1,C2分别交于点D,B,连接OD,DA,AB,BO.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S=f(t);(2)求函数S=f(t)在区间(0,1上的最大值.解(1)由y=x2,y=-x2+2ax,得点O(0,0),A(a,a2).又由已知,得B(t,-t2+2at),D(t,t2),S=0t (-x2+2ax)dx-12tt2+12(-t2+2at-t2)(a-t)=16t3-at2+a2t.S=f(t)=16t3-at2+a2t(01,(2+2)a1.当(2-2)a1,即a2+22时,01,即1a2+22时,当0t0,f(t)在区间(0,(2-2)a上单调递增;当(2-2)at1时,f(t)0,f(t)在区间(2-2)a,1上单调递减.f(t)的最大值是f(2-2)a=23(2-1)a3.
